DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0028
Wolfgang Krull: Bemerkungen zur algebraischen Geometrie.
/z > 0 besitzt, so braucht man, um die Anwendbarkeit der Transfor-
mationen (2) zu ermöglichen, nur den ursprüglichen Grundkörper
in geeigneter Weise /u-fach transzendent zu erweitern und danach
algebraisch abzuschließen. Dabei vollziehen sich alle notwendigen
Operationen nach einem Schema, das in der modernen Algebra sehr
gründlich durchgebildet und z. B. in dem v. d. Waerdenschen Lehr-
buch häufig benutzt ist. Wir können uns daher mit einer ganz
oberflächlichen Skizze begnügen.
Man adj ungiert zweckmäßig zunächst stillschweigend zum
Grundkörper St0 die rationalen Funktionen von n2 neuen Unbe-
stimmten uik (i, k = 1, . . . n) und führt in anstelle von . . . xn
n
neue Variable ein durch die Substitution yi = 2luikxk (i = i, . . . n).
k=l
Dann sind yn_„+1, yn_ß+2, ■ ■ ■ yn modulo b algebraisch unabhängig,
und es bleiben die Restgruppen rp und die Singularitätengruppen
U, völlig ungeändert, wenn man vom Grundkörper T() zum Grund-
körper (yn_^+1, . . . yn) übergeht. Erweitert man weiter ®
zum algebraisch abgeschlossenen Körper $*, so bleibt das Prim-
hauptideal (p), dessen Singularitäten untersucht werden, immer
noch Primideal. Das Singularitätenmannigfaltigkeitsprimideal b da-
gegen wird im allgemeinen zum Durchschnitt von endlich vielen, im
Sinne der Galoisschen Theorie konjugierten Primidealen bi, • • • P«z-
Dementsprechend verwandelt sich die in b liegende nichteingebettete
Singularität in d konjugierte Singularitäten, die in bi, • • • b<z liegen,
und ebenfalls nicht eingebettet sind; und anstelle der einen Singu-
laritätengruppe cp treten d konjugierte Singularitätengruppen
cPi, . . . cp . Da die Gruppen cp naturgemäß alle untereinander
isomorph sind, braucht man nur eine von ihnen näher zu untersuchen,
und das kann jetzt wieder nach der Schmeidlerschen Methode mit
Hilfe der Transformationen (2) geschehen.
Allerdings sind dabei noch manche Einzelheiten zu klären,
z. B. scheint diesmal die projektive Invarianz der durch die Trans-
formationen (2) gelieferten Singularitätengruppen höherer Ordnung
nicht mehr so unmittelbar selbstverständlich. Auch dürfte es zweck-
mäßig sein, die Untersuchung so zu führen, daß man von nicht
gleich zum algebraisch abgeschlossenen Körper ^*, sondern nur
zu einem endlichen abgebraischen Erweiterungskörper hinreichend
hoher Ordnung übergeht. Indessen sind das nur Fragen sekundärer
Natur. Im ganzen erscheint der angedeutete Weg ohne weiteres
gangbar, und im übrigen kam es hier nur darauf an, zu zeigen,
/z > 0 besitzt, so braucht man, um die Anwendbarkeit der Transfor-
mationen (2) zu ermöglichen, nur den ursprüglichen Grundkörper
in geeigneter Weise /u-fach transzendent zu erweitern und danach
algebraisch abzuschließen. Dabei vollziehen sich alle notwendigen
Operationen nach einem Schema, das in der modernen Algebra sehr
gründlich durchgebildet und z. B. in dem v. d. Waerdenschen Lehr-
buch häufig benutzt ist. Wir können uns daher mit einer ganz
oberflächlichen Skizze begnügen.
Man adj ungiert zweckmäßig zunächst stillschweigend zum
Grundkörper St0 die rationalen Funktionen von n2 neuen Unbe-
stimmten uik (i, k = 1, . . . n) und führt in anstelle von . . . xn
n
neue Variable ein durch die Substitution yi = 2luikxk (i = i, . . . n).
k=l
Dann sind yn_„+1, yn_ß+2, ■ ■ ■ yn modulo b algebraisch unabhängig,
und es bleiben die Restgruppen rp und die Singularitätengruppen
U, völlig ungeändert, wenn man vom Grundkörper T() zum Grund-
körper (yn_^+1, . . . yn) übergeht. Erweitert man weiter ®
zum algebraisch abgeschlossenen Körper $*, so bleibt das Prim-
hauptideal (p), dessen Singularitäten untersucht werden, immer
noch Primideal. Das Singularitätenmannigfaltigkeitsprimideal b da-
gegen wird im allgemeinen zum Durchschnitt von endlich vielen, im
Sinne der Galoisschen Theorie konjugierten Primidealen bi, • • • P«z-
Dementsprechend verwandelt sich die in b liegende nichteingebettete
Singularität in d konjugierte Singularitäten, die in bi, • • • b<z liegen,
und ebenfalls nicht eingebettet sind; und anstelle der einen Singu-
laritätengruppe cp treten d konjugierte Singularitätengruppen
cPi, . . . cp . Da die Gruppen cp naturgemäß alle untereinander
isomorph sind, braucht man nur eine von ihnen näher zu untersuchen,
und das kann jetzt wieder nach der Schmeidlerschen Methode mit
Hilfe der Transformationen (2) geschehen.
Allerdings sind dabei noch manche Einzelheiten zu klären,
z. B. scheint diesmal die projektive Invarianz der durch die Trans-
formationen (2) gelieferten Singularitätengruppen höherer Ordnung
nicht mehr so unmittelbar selbstverständlich. Auch dürfte es zweck-
mäßig sein, die Untersuchung so zu führen, daß man von nicht
gleich zum algebraisch abgeschlossenen Körper ^*, sondern nur
zu einem endlichen abgebraischen Erweiterungskörper hinreichend
hoher Ordnung übergeht. Indessen sind das nur Fragen sekundärer
Natur. Im ganzen erscheint der angedeutete Weg ohne weiteres
gangbar, und im übrigen kam es hier nur darauf an, zu zeigen,