Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Bemerkungen zur algebraischen Geometrie.

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gruppen und r{,2) und damit auch die Singularitätengruppen c{,x)
und cj2) isomorph. Unterwirft man dann (p(1)) und (p(2)) zwei Trans-
formationen X(1) und £(2) vom Typus (2), die in einer bestimmten,
geometrisch sehr naheliegenden und arithmetisch leicht faßbaren Weise
gekoppelt sind1), so haben auch die Bildhauptideale {qw) und (q{2})
in p isomorphe Singularitätengruppen und e£2).
Der Beweis kann wieder genau so geführt werden wie der Beweis
des entsprechenden Satzes bei Schmeidler, wo es sich um die in iß
selbst gebildeten Best- und Singularitätengruppen handelt. Man
hat nur zu beachten, daß auch bei Schmeidler der Isomorphiebeweis
zuerst für den Teil der Singularitätengruppen geführt wird, der der
Mannigfaltigkeit p entspricht. Allerdings findet sich bei Schmeidler
eine Voraussetzung über das Verhalten der Transformationen S(1)
und S£(2) zu den durch p unteilbaren Primidealen, die diesmal un-
zulässig und überhaupt nur dann realisierbar ist, wenn die Singu-
laritätenideale c(1) und c(2) in )ß Produkte von nulldimensionalen
Primäridealen sind. Aber gerade diese Voraussetzung wird nur
dadurch nötig, daß Schmeidler im Polynomring )ß und nicht im
Quotientenring *ßp arbeitet.
Auf Grund des neugewonnenen Isomorphiesatzes kann man die
Schmeidlersche Auflösungsmethode auf jede nichteingebettete Sin-
gularität mit nulldimensionaler Mannigfaltigkeit p anwenden, ohne
Rücksicht auf die Dimension der übrigen Singularitätenmannig-
faltigkeiten. Man erhält so zu der ursprünglichen („nullten“) Sin-
gularitätengruppe Q endlich viele Serien von weiteren Singularitäten-
gruppen erster, zweiter, . . . Ordnung, die alle Invarianten des in p
vorliegenden Singularitätentypus darstellen, und zwar — wie leicht
aus der projektiven Natur von cp zu erschließen — projektive In-
varianten.
Über die nichteingebetteten Singularitätenmannigfaltigkeiten
von höherer als nullter Dimension ist zu bemerken: Für die An-
wendung der Transformationen (2) auf eine nichteingebettete Sin-
gularität mit der Mannigfaltigkeit p ist wesentlich, daß der Rest-
klassenkörper ißv | pp eine algebraische Erweiterung des Grund-
körpers darstellt, und daß algebraisch abgeschlossen ist.
Dagegen muß nirgends die Tatsache benutzt werden, daß gerade
den Körper aller komplexen Zahlen bedeutet. Ist daher eine nicht-
eingebettete Singularität vorgelegt, deren Primideal p eine Dimension
7) Die ausführliche Formulierung der Koppelungsbedingung findet sich
in der zweiten ScHMEiDLERschen Abhandlung S. 306 und S. 315.