Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Ordnungsfeste Annäherung ebener Bogen 9
mit sowohl die st> als die S'e und die S"9 je gegen eine
bestimmte Gerade s, bzw. gegen bestimmte Punkte S', S" kon-
vergieren. Dann wäre aber entweder s Stützgerade an und
oder s enthielte Endpunkte von R' bzw. ; in keinem dieser
beiden Fälle gibt es aber Geraden, welche zu s beliebig benachbart
sind, und von welchen R' und in (inneren) Punkten gestützt
werden, die zu S' bzw. zu S" beliebig benachbart sind.
Ganz entsprechend wie bei der Auflösung der mehrfachen
Punkte, entfernt man jetzt von jeder der endlich vielen Stützge-
raden, welche mehr als zwei Stützpunkte enthält, alle Stützpunkte
mit Ausnahme von zweien und macht letztere gegebenenfalls
zu einfachen Punkten. Ebenso entfernt man von der Verbindungs-
geraden der beiden Endpunkte etwa auf ihr gelegene Stützpunkte.
Zu bemerken ist dazu nur noch folgendes: Entfernt man von einer
mehrfachen Stützgeraden nacheinander alle Stützpunkte bis auf
zwei, indem man schrittweise hinreichend kleine konvexe Teil-
bogen durch flachere ersetzt, so können dabei freilich neue mehr-
fache Stützgeraden auftreten. Diese neuen Stützgeraden werden
aber, wenn die Abänderungen nur sämtlich klein genug gewählt
sind, je genau zwei Stützpunkte enthalten; diese Stützpunkte liegen
übrigens zu Stützpunkten auf der ursprünglich vorhandenen mehr-
fachen Stützgeraden beliebig benachbart. In der Tat: Ändert man
einen konvexen Teilbogen ab, und würden bei jeder beliebig
kleinen derartigen Abänderung neue Stützgeraden auftreten, welche
mehr als zwei Stützpunkte enthalten, so müßten je mindestens
zwei dieser Stützpunkte auf nichtabgeänderten Teilbogen liegen.
Dann aber besäße 21 unendlich viele mehrfache Stützgeraden.
Zufolge Regel 2, 4 bleibt bei allen im vorangehenden be-
sprochenen Abänderungen, sofern wir sie nur genügend klein
annehmen, die Ordnung ungeändert.
4. Auf der gemäß 3, 1 konstruierten Konvexbogensumme 21
gibt es im allgemeinen noch eine endliche Anzahl von Punkten
— entsprechend nämlich den t(J, (vgl. Nr. 2, II. Schritt), — in
welchen die Ableitungen von y(f) und <p(0 Unstetigkeiten (erster
Art) haben. Wir wünschen nun eine ordnungsfeste „Glättung“
der ersten, sowie der zweiten und alsdann — wenigstens in der
Umgebung der Wendepunkte — auch der dritten Ableitungen;
„Glätten“ heiße dabei: Unstetige Funktionen durch stetige ersetzen.
Die gewünschte Glättung erreicht man folgendermaßen: Wir
denken uns zunächst im Anschluß an Herrn Juel-) die ersten