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https://doi.org/10.11588/diglit.43679#0008
8
Otto Haupt
welcher in der abgeschlossenen konvexen Hiille des ursprünglichen
(eventuell konvexen) Teilbogens liegt.
3. Zufolge der soeben formulierten Regel 2,4 kann man
3,1: Die in 2, 3 erwähnte Ordnungsfeste, stückweise regulär-
konvexe e-Annäherung 21 so einrichten: 21 besitzt nur endlich
viele mehrfache Punkte Q. Jeder mehrfache Punkt hat die Viel-
fachheit zwei, gehört zu genau zwei verschiedenen regulär-kon-
vexen Teilbogen und liegt in deren Innerem; die Tangenten in Q
an diese beiden Teilbogen sind verschieden. Ferner gibt es nur
endlich viele mehrfache Stützgeraden an 21. Keine von diesen
enthält Endpunkte von 21, und auf jeder liegen genau zwei (ver-
schiedene) Stützpunkte; letztere sind keine mehrfachen Punkte.
Beweis: Gäbe es auf 21 unendlich viele mehrfache Punkte,
so gäbe es zwei konvexe Teilbogen, welche unendlich viele
Punkte gemeinsam haben. Da die beiden Teilbogen analytisch
sein sollen, müßten sie identisch sein, was nach Regel 2,4 immer
vermeidbar ist.
Es sei nun Q ein mehrfacher Punkt. Da Q von endlichem Viel-
fachheitsgrade ist, gehört Q nur endlich vielen verschiedenen
Teilbogen von 23 an. Auf allen durch Q laufenden Teilbogen
von 23 grenze man um Q hinreichend kleine doppelpunktfreie
Umgebungen ab und ersetze diese gemäß Nr. 2, I. Schritt, durch
flachere, reguläre Konvexbogen, welche paarweise höchstens
einen Punkt gemeinsam haben und in diesem verschiedene
Tangenten besitzen; damit ist Q in endlich viele mehrfache Punkte
der gewünschten Art aufgelöst (unter Umständen bleibt gar kein
mehrfacher Punkt mehr übrig). Da nur endlich viele mehrfache
Punkte vorhanden sind, führen die eben genannten Operationen
nach endlich vielen Schritten zu einer ^-Näherung der gewünschten
Art. Diese kann zufolge Regel 2,4 als ordnungsfest angenommen
werden.
Jetzt können nur endlich viele mehrfache Stützgeraden vor-
handen sein. In der Tat: Wären unendlich viele verschiedene
mehrfache Stützgeraden sx, s2,... an 21 vorhanden, so gäbe es
zwei, bis auf höchstens die Endpunkte fremde, abgeschlossene
konvexe Teilbogen von 21 und eine unendliche Teilfolge
Js*' aus jsj, sodaß auf jeder der s* zweiStützpunkte
liegen, deren einer zu und deren anderer zu gehört. Dabei
kann o. B. d. A. angenommen werden, daß S'„, S'j innere Punkte
von bzw. sind; ferner kann angenommen werden, daß
Otto Haupt
welcher in der abgeschlossenen konvexen Hiille des ursprünglichen
(eventuell konvexen) Teilbogens liegt.
3. Zufolge der soeben formulierten Regel 2,4 kann man
3,1: Die in 2, 3 erwähnte Ordnungsfeste, stückweise regulär-
konvexe e-Annäherung 21 so einrichten: 21 besitzt nur endlich
viele mehrfache Punkte Q. Jeder mehrfache Punkt hat die Viel-
fachheit zwei, gehört zu genau zwei verschiedenen regulär-kon-
vexen Teilbogen und liegt in deren Innerem; die Tangenten in Q
an diese beiden Teilbogen sind verschieden. Ferner gibt es nur
endlich viele mehrfache Stützgeraden an 21. Keine von diesen
enthält Endpunkte von 21, und auf jeder liegen genau zwei (ver-
schiedene) Stützpunkte; letztere sind keine mehrfachen Punkte.
Beweis: Gäbe es auf 21 unendlich viele mehrfache Punkte,
so gäbe es zwei konvexe Teilbogen, welche unendlich viele
Punkte gemeinsam haben. Da die beiden Teilbogen analytisch
sein sollen, müßten sie identisch sein, was nach Regel 2,4 immer
vermeidbar ist.
Es sei nun Q ein mehrfacher Punkt. Da Q von endlichem Viel-
fachheitsgrade ist, gehört Q nur endlich vielen verschiedenen
Teilbogen von 23 an. Auf allen durch Q laufenden Teilbogen
von 23 grenze man um Q hinreichend kleine doppelpunktfreie
Umgebungen ab und ersetze diese gemäß Nr. 2, I. Schritt, durch
flachere, reguläre Konvexbogen, welche paarweise höchstens
einen Punkt gemeinsam haben und in diesem verschiedene
Tangenten besitzen; damit ist Q in endlich viele mehrfache Punkte
der gewünschten Art aufgelöst (unter Umständen bleibt gar kein
mehrfacher Punkt mehr übrig). Da nur endlich viele mehrfache
Punkte vorhanden sind, führen die eben genannten Operationen
nach endlich vielen Schritten zu einer ^-Näherung der gewünschten
Art. Diese kann zufolge Regel 2,4 als ordnungsfest angenommen
werden.
Jetzt können nur endlich viele mehrfache Stützgeraden vor-
handen sein. In der Tat: Wären unendlich viele verschiedene
mehrfache Stützgeraden sx, s2,... an 21 vorhanden, so gäbe es
zwei, bis auf höchstens die Endpunkte fremde, abgeschlossene
konvexe Teilbogen von 21 und eine unendliche Teilfolge
Js*' aus jsj, sodaß auf jeder der s* zweiStützpunkte
liegen, deren einer zu und deren anderer zu gehört. Dabei
kann o. B. d. A. angenommen werden, daß S'„, S'j innere Punkte
von bzw. sind; ferner kann angenommen werden, daß