Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Otto Haupt

Tangente. Man kann aber —- und darum soll es sich im folgenden
vor allem handeln — einerseits beliebige ebene Bogen bzw. Kurven
«-ter Ordnung als vorgegeben zu Grunde legen, andererseits zu-
gleich an den Annäherungsbogen 93O bzw. an die Annäherungs-
kurve viel weitergehende Anforderungen stellen, man kann etwa
fordern, daß 93« und G« zu spezielleren Bogen- oder Kurvenklassen
gehören. Das Äußerste, was man in dieser Hinsicht wird verlangen
können, dürfte im folgenden Satze enthalten sein, dessen Beweis
den Gegenstand vorliegender Arbeit bildet:
Jeder beschränkte ebene Bogen 3 4) der Ordnung n ist darstellbar
als ordnungsfester, gleichmäßiger Limes von algebraischen
Bogen l). Ferner kann jede beschränkte, ebene, geschlossene Kurve3)
11-ter Ordnung ordnungsfest und gleichmäßig mit beliebiger Ge-
nauigkeit angenähert werden durch geschlossene Kurven, welche,
wenn auch nicht gerade algebraisch, so doch wenigstens analy-
tisch sind5).
Im Sinne dieses Satzes kann man also sagen, daß alle Konfi-
gurationen bei beschränkten ebenen Bogen und Kurven n-ter
Ordnung im wesentlichen bereits durch algebraische Bogen und
analytische Kurven geliefert werden.
Unser Beweis dürfte übrigens auch für (nicht beschränkte)
Bogen und Kurven in der projektiven Ebene zum Ziele führen,
worauf wir indes hier nicht eingehen wollen. Eine Behandlung
der entsprechenden Fragen für Bogen im Rh (k 3) hoffen wir
später geben zu können.
Die Bedeutung ähnlicher Fragestellungen insbesondere für den
Fall der Flächen im R3 ist bereits von Herrn Juel hervorgehoben
worden 6).
2. Es sei also 93 ein Bogen der Ordnung n 2 in der Ebene.
Wir schließen Strecken als Teilbogen aus. Wir nehmen ferner 93
als beschränkt an. Unter der ^-Umgebung eines Punktes P ver-
3) Der Bogen bezw. die Kurve ist definiert als eindeutiges, keine
Strecke enthaltendes, Strecken- bezw. Kreisbild.
4) Der Fall n = 2 ist, wie ich bei Abschluß der Arbeit bemerkte, bereits
von Herrn Pal erledigt worden. Vergl. Päl, J., Approksimation af konvekse
Funktioner ved konvekse Polynomier, Festskrift til C. Juel, Matematisk
Tidsskrift B 1925, S. 60 ff.
5) Für n 2, also für konvexe Kurven ist der Satz bekannt. Vergl.
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Bd. 3, Heft 1, Bericht
von Bonnensen, T. und Fenchel, W., Theorie der konvexen Körper, Berlin
1934, S. 35, Nr. 27.
°) Juel, C., Einleitung in die Theorie der Elementarflächen dritter
Ordnung, Math. Ann. 76 (1915), Vorwort, S. 550.