Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Uber ordnungsfeste Annäherung ebener Bogen.
von
Otto Haupt in Erlangen.
1. Die Fragen, welche man bei Betrachtung (reeller) ebener
Bogen stellen kann, lassen eine gewisse Unterscheidung zu in
solche lokalen Charakters und in solche, welche den Verlauf im
Großen, die sogenannte Konfiguration, betreffen. In den zweiten
Problemkreis gehört die Frage nach Eigenschaften des betrach-
teten Bogens, welche bei (passend gewählter) hinreichend kleiner
Abänderung des Bogens erhalten bleiben.
Eine solche Eigenschaft ist die (geometrische) Ordnung eines
Bogens x). Man kann nämlich, wie sich im folgenden zeigen wird,
jeden vorgegebenen Bogen der Ordnung n mit beliebig vorge-
gebener Genauigkeit ordnungsfest, d. h. durch Bogen der gleichen
Ordnung n gleichmäßig annähern. Für den Fall, daß der vorge-
gebene Bogen 93, bzw. die vorgegebene Kurve C, stückweise
konvex ist und stückweise eine stetige Tangente besitzt, hat be-
reits Herr Juel2) gezeigt: 93, bzw. C kann ordnungsfest und gleich-
mäßig beliebig genau approximiert werden durch stückweise kon-
vexe, von Spitzen freie Bogen bzw. Kurven mit überall stetiger
x) Definition der „Ordnung“ wie in „Ordnungsfeste Erweiterung ebener
Bogen und Kurven“, Math. Zeitschr. 39 (1934), S. 126ff. — Ein Bogen 93
heißt k-mal stetig differenzierbar bezw. analytisch, wenn es für 93 eine
Darstellung x = <p(t), y = w(f), ci^t<^b gibt, in welcher v(t) ein-
deutige, reelle /c-mal stetig differenzierbare bezw. analytische Funktionen
von t sind. Im Falle einer Kurve verlangt man, daß (f) und v (t) nebst
ihren Ableitungen periodisch seien [mit der Periode (b—a)J. Im folgenden
ist übrigens meistens angenommen, daß | <p' | -f- | v' | >0 in (a, b), soweit
eben <?' und y>' existieren. Ein Bogen besitzt „stückweise“ eine Eigen-
schaft @, wenn das Intervall a t < b als Summe von'endlich vielen ab-
geschlossenen Teilintervallen mit paarweise fremden offenen Kernen dar-
stellbar ist, sodaß die den Teilintervallen entsprechenden Teilbogen ein-
zeln die Eigenschaft S besitzen.
2) Juel, C., Einleitung in die Theorie der ebenen Elementarkurven
dritter und vierter Ordnung. K. Danske Vidensk. Selsk. Skrifter, naturv. og
mathem. Afd., 7. R., XI. 2 (1914), S. 123 u. 129.