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https://doi.org/10.11588/diglit.43679#0017
Ordnungsfeste Annäherung ebener Bogen 17
sind, zumal der Fall mehrfacher oder End-Punkte keine Kompli-
kationen bringt.
I. Es liegen nur Schnittpunkte mit 21" auf g, und. g ist keine
Wendetangente. Einerseits ist k <. n. Andererseits gehört zu jedem
7T nur einer der (zz —1) Grenzpunkte Sy, sodaß Ä: zz —|— 1 sein
müßte, womit wir einen Widerspruch haben.
II. Auf g liegen nur Schnittpunkte mit 21", zz/zzZ g ist Wende¬
tangente von 21". Es sei etwa W=TV der zugehörige Wendepunkt,
und es seien T.>,..., Tk die übrigen Schnittpunkte von g mit 21".
Nun hat aber eine zu g hinreichend benachbarte passende Gerade
mindestens ((/<—1)—]—3) Punkte mit 21" gemeinsam, sodaß
(/r-l) + 3 <. n ist. Andererseits fallen nach 7\ höchstens drei der
Sj', hingegen fällt nach T.,, ..., Tk je genau einer der Sy. Daher
ist gewiß zz1 (/r- 1)—|—3. Und das ist widerspruchsvoll.
III. Es liegt auf g mindestens ein Stützpunkt mit 21". Jetzt
ist g wegen 4, 2 keine Wendetangente an 21". Befinden sich
dann unter den 1\,..., Tk genau s Schnittpunkte und genau t
Stützpunkte (Zj> 1), so ist tsA2 und eine zu g benachbarte Ge-
rade g" hat mit 21" mindestens s-j-2Z Punkte gemeinsam. Daher
ist s-\-2t <^n. Nun liegen aber nach Voraussetzung in den
Tt,..., Tk mindestens die St,..., Sw_|_i vereinigt, während an-
dererseits, dem oben Bewiesenen zufolge, in den Tr,..., Tk
genau s 21 Punkte Sy zusammenfallen. Daher müßte
s + 2 Z > zz +1
sein, was mit s —2 Z zz unverträglich ist.
Damit ist die Existenz des gesuchten Z> 0 bewiesen und
wir haben den
5, 5. Satz: Jeder beschränkte ebene Bogen -’} 23 der Ordnung
n läßt sich orclnungsfest und e-gleichmäßig durch einen, von
Spitzen freien, reellen Teilbogen 21 einer algebraischen Kurve
approximieren. (Dabei kann 2t so gewählt werden, daß die End-
punkte von 21 zusammenfallen mit den Endpunkten von 23 zz/zzZ
daß 21 und 23 in den gemeinsamen Endpunkten gleiche Tangenten
besitzen).
6. Das oben beschriebene Verfahren liefert für den Fall einer
beschränkten Kurve als Approximation einen Teilbogen 21 einer
algebraischen Kurve, dessen Endpunkte zusammenfallen und
welcher dort keine Spitze besitzt; es steht aber durchaus dahin,
ob jener Teilbogen 21 ein in sich geschlossener Zweig einer
algebraischen Kurve ist, anders gesagt: Es ist denkbar, daß 21
sind, zumal der Fall mehrfacher oder End-Punkte keine Kompli-
kationen bringt.
I. Es liegen nur Schnittpunkte mit 21" auf g, und. g ist keine
Wendetangente. Einerseits ist k <. n. Andererseits gehört zu jedem
7T nur einer der (zz —1) Grenzpunkte Sy, sodaß Ä: zz —|— 1 sein
müßte, womit wir einen Widerspruch haben.
II. Auf g liegen nur Schnittpunkte mit 21", zz/zzZ g ist Wende¬
tangente von 21". Es sei etwa W=TV der zugehörige Wendepunkt,
und es seien T.>,..., Tk die übrigen Schnittpunkte von g mit 21".
Nun hat aber eine zu g hinreichend benachbarte passende Gerade
mindestens ((/<—1)—]—3) Punkte mit 21" gemeinsam, sodaß
(/r-l) + 3 <. n ist. Andererseits fallen nach 7\ höchstens drei der
Sj', hingegen fällt nach T.,, ..., Tk je genau einer der Sy. Daher
ist gewiß zz1 (/r- 1)—|—3. Und das ist widerspruchsvoll.
III. Es liegt auf g mindestens ein Stützpunkt mit 21". Jetzt
ist g wegen 4, 2 keine Wendetangente an 21". Befinden sich
dann unter den 1\,..., Tk genau s Schnittpunkte und genau t
Stützpunkte (Zj> 1), so ist tsA2 und eine zu g benachbarte Ge-
rade g" hat mit 21" mindestens s-j-2Z Punkte gemeinsam. Daher
ist s-\-2t <^n. Nun liegen aber nach Voraussetzung in den
Tt,..., Tk mindestens die St,..., Sw_|_i vereinigt, während an-
dererseits, dem oben Bewiesenen zufolge, in den Tr,..., Tk
genau s 21 Punkte Sy zusammenfallen. Daher müßte
s + 2 Z > zz +1
sein, was mit s —2 Z zz unverträglich ist.
Damit ist die Existenz des gesuchten Z> 0 bewiesen und
wir haben den
5, 5. Satz: Jeder beschränkte ebene Bogen -’} 23 der Ordnung
n läßt sich orclnungsfest und e-gleichmäßig durch einen, von
Spitzen freien, reellen Teilbogen 21 einer algebraischen Kurve
approximieren. (Dabei kann 2t so gewählt werden, daß die End-
punkte von 21 zusammenfallen mit den Endpunkten von 23 zz/zzZ
daß 21 und 23 in den gemeinsamen Endpunkten gleiche Tangenten
besitzen).
6. Das oben beschriebene Verfahren liefert für den Fall einer
beschränkten Kurve als Approximation einen Teilbogen 21 einer
algebraischen Kurve, dessen Endpunkte zusammenfallen und
welcher dort keine Spitze besitzt; es steht aber durchaus dahin,
ob jener Teilbogen 21 ein in sich geschlossener Zweig einer
algebraischen Kurve ist, anders gesagt: Es ist denkbar, daß 21