Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Otto Haupt

jedem t„ und dem s„ sowie zwischen jedem tr und g innerhalb U
eine positive, von v und tv unabhängige untere Schranke besitzt.
Dann liegt aber innerhalb U höchstens ein Schnittpunkt von s,.
und 2l„ (soweit überhaupt 21,. innerhalb U Punkte mit sv gemein-
sam hat). Es fallen also in T keine zwei der Sj zusammen, wie
behauptet. Der Fall, daß 7 mehrfacher Punkt oder Endpunkt von
21” ist, erledigt sich ganz entsprechend.
Zweitens: Tx = T' ist Stützpunkt von g auf 21”. Wir behaup-
ten: Es fallen in Tr genau zwei der Sj zusammen, wenn T ein-
facher Punkt von 21” ist. Sonst fallen drei der Sj in T' zusammen.
In der Tat: Tf ist kein Wendepunkt auf 21". Daher kann eine
zweidimensionale Umgebung U von T' so gewählt werden, daß
in U Wendepunkte fast keines 21,. liegen; diese 21,. sind also in U
konvex. Es sei zunächst T' einfacher Punkt von 2t". Dann gibt
es bei eventueller Verkleinerung von U in der vorderen bzw.
in der hinteren Umgebung von T' auf 21" einen Punkt P bzw.
Q von 21" so, daß P und Q beide außerhalb U und auf der
gleichen Seite von g liegen. Wegen der Gleichmäßigkeit der
Annäherung der 21,. an 21" gibt es also auf fast allen 21,. Punkte
P„ und Q,., welche außerhalb U auf der gleichen Seite von g
so gelegen sind, daß der von Pv und Q„ begrenzte, übrigens
konvexe Teilbogen von 21,. Punkte mit U gemeinsam hat. Pv und
Q„ liegen dann (für fast alle v) auch auf der gleichen Seite von
s,.. Da nun (für fast alle v) Punkte innerhalb U liegen sollen,
so hat s,. mit 21,. genau zwei Punkte gemeinsam. Daraus folgt
die Behauptung. — Falls T' mehrfacher Punkt von 21" ist, gibt
es einen Teilbogen von 21", welcher in Tr von g gestützt wird,
und außerdem einen Teilbogen, auf welchem T Schnittpunkt mit
g ist. Daraus folgt die Behauptung auch für diesen Fall.
Drittens: Ty.— W ist Wendepunkt, und zugleich ist g Wende-
tcingente in W an 21". Wzr behaupten dann: In W können
höchstens drei der Sj zusammenfallen.
Denn fast jedes 21,. hat mit jeder zu g hinreichend benachbarten
Geraden in einer von v unabhängigen zweidimensionalen Um-
gebung von W höchstens drei Punkte gemeinsam. Man beachte,
daß W einfacher Punkt von 21" ist.
Nun können wir weiter schließen, wie folgt: Bezüglich g
bestehen nur die nachstehenden drei, einander ausschließenden
Möglichkeiten; der Einfachheit wegen behandeln wir nur den
Fall, daß die 7\,..., T/( sämtlich einfache innere Punkte von 21"