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https://doi.org/10.11588/diglit.43715#0010
10
E. A. Weiss
CD
(czjc) (ZZ/?) — (bx) (ua) = O,
(bx) (wy) — (cx) (zz/?) = 0 ,
(c x) (ua) — (ax) (zz y) = 0.
Durch die Hilfsgleichungen (10) wird offenbar erreicht, daß die
Kollineationen (11) symmetrisch werden.
Das ENGELsche Gleichungssystem leistet nun in der Tat mehr
als eines der Gleichungssysteme (5), (8); denn es gilt:
Satz 6: Die Gleichungen (11) stellen im Falle («/?/) (abc) yL 0
einen regulären Kegelschnitt, im Falle («/?y)yL0, r=Rang von
(cibc) = 2 eine Kurve 2. Ordnung vom Range 2, im Falle (abc) y^ 0,
P = Rang von (aßy) — 2 eine Kurve 2. Klasse vom Rang 2 als
Ort von Paaren dar. Im Falle r<^2, wird der Rang des
Gleichungssystems (11) kleiner als 3.
Dieser Satz zeigt aber, daß der Linienelementkegelschnitt auch
von dem ENGELschen Gleichungssystem nicht geliefert wird.
6. Endgültige Darstellung des Elementvereinkegelschnitts.
— Zusammenhang mit E. Studys Darstellung. Ein Gleichungs-
system, das alle Ausartungen des Elementvereinkegelschnittes
liefert, erhalten wir, wenn wir die Systeme (5) und (8) zu einem
System von 6 Gleichungen zusammenfassen. Es gilt nämlich
der Satz:
Satz 7: Es seien dk die Koordinaten einer Kurve 2. Ordnung,
Ctk die Koordinaten einer (zunächst beliebigen) Kurve 2. Klasse.
Dann stellt ein System von 6 Gleichungen (5) und (8) vom Range 3
— zusammen mit der Gleichung (ux) = 0 — einen Elementverein-
kegelschnitt dar, und jeder Elementvereinkegelschnitt kann auf
diese Weise dargestellt werden.
Beweis: Ein Gleichungssystem der beschriebenen Art sei
vorgegeben. Ist dann schon das System (5) oder (8) vom Range
3, so wird trivialerweise ein Elementvereinkegelschnitt geliefert.
Es folgt übrigens, wenn man alle vierreihigen Determinanten der
Matrix gleich Null setzt, daß die G/c die Koordinaten der zu Cik ge-
hörigen Klassenkurve sind (oder dual). Wird aber der Rang von
(5) sowohl wie von (8) gleich 2, so folgt aus dem Verschwinden
der 4-reihigen Determinanten, daß die Doppelgerade dk durch
den Doppelpunkt Cik laufen muß. Es wird der Durchschnitt der
zu Beginn von 5 beschriebenen Figuren, also der Linienelement-
kegelschnitt, geliefert.
Die Darstellung des Satzes 7 steht in enger Beziehung zu
E. A. Weiss
CD
(czjc) (ZZ/?) — (bx) (ua) = O,
(bx) (wy) — (cx) (zz/?) = 0 ,
(c x) (ua) — (ax) (zz y) = 0.
Durch die Hilfsgleichungen (10) wird offenbar erreicht, daß die
Kollineationen (11) symmetrisch werden.
Das ENGELsche Gleichungssystem leistet nun in der Tat mehr
als eines der Gleichungssysteme (5), (8); denn es gilt:
Satz 6: Die Gleichungen (11) stellen im Falle («/?/) (abc) yL 0
einen regulären Kegelschnitt, im Falle («/?y)yL0, r=Rang von
(cibc) = 2 eine Kurve 2. Ordnung vom Range 2, im Falle (abc) y^ 0,
P = Rang von (aßy) — 2 eine Kurve 2. Klasse vom Rang 2 als
Ort von Paaren dar. Im Falle r<^2, wird der Rang des
Gleichungssystems (11) kleiner als 3.
Dieser Satz zeigt aber, daß der Linienelementkegelschnitt auch
von dem ENGELschen Gleichungssystem nicht geliefert wird.
6. Endgültige Darstellung des Elementvereinkegelschnitts.
— Zusammenhang mit E. Studys Darstellung. Ein Gleichungs-
system, das alle Ausartungen des Elementvereinkegelschnittes
liefert, erhalten wir, wenn wir die Systeme (5) und (8) zu einem
System von 6 Gleichungen zusammenfassen. Es gilt nämlich
der Satz:
Satz 7: Es seien dk die Koordinaten einer Kurve 2. Ordnung,
Ctk die Koordinaten einer (zunächst beliebigen) Kurve 2. Klasse.
Dann stellt ein System von 6 Gleichungen (5) und (8) vom Range 3
— zusammen mit der Gleichung (ux) = 0 — einen Elementverein-
kegelschnitt dar, und jeder Elementvereinkegelschnitt kann auf
diese Weise dargestellt werden.
Beweis: Ein Gleichungssystem der beschriebenen Art sei
vorgegeben. Ist dann schon das System (5) oder (8) vom Range
3, so wird trivialerweise ein Elementvereinkegelschnitt geliefert.
Es folgt übrigens, wenn man alle vierreihigen Determinanten der
Matrix gleich Null setzt, daß die G/c die Koordinaten der zu Cik ge-
hörigen Klassenkurve sind (oder dual). Wird aber der Rang von
(5) sowohl wie von (8) gleich 2, so folgt aus dem Verschwinden
der 4-reihigen Determinanten, daß die Doppelgerade dk durch
den Doppelpunkt Cik laufen muß. Es wird der Durchschnitt der
zu Beginn von 5 beschriebenen Figuren, also der Linienelement-
kegelschnitt, geliefert.
Die Darstellung des Satzes 7 steht in enger Beziehung zu