Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der Kegelschnitt als Elementverein

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der STUDYschen Definition des Elementvereinkegelschnitts. Rechnet
man nämlich die Koordinaten des durch die Gleichungen des
Satzes 7 dargestellten /?-, aus, so findet man:
Satz 8: Die Koordinaten des durch die Gleichungen des
Satzes 7 dargestellten R5 sind die Produkte dfäCim-
Diese Produkte hat aber E. Study als Koordinaten des Ele-
mentvereinkegelschnittes auf folgende Weise eingeführt: Es
seien ctk die Koordinaten einer Kurve 2. Ordnung (cx)2 = 0, und
Cik die Koordinaten einer Kurve 2. Klasse (yrz)2 = 0. Es wird
(im regulären Falle) verlangt, daß beide Kurven das gleiche
Polarsystem besitzen:
(12) (c/) (cjc) (/u) — 1 (c/)2 • (ux) = 0 \u, x|.
Das System zweier beliebigen durch diese Identität verbundenen
Kurven 2. Ordnung und Klasse wird dann als ein spezieller
Konnex (2,2):
(ex)2 (yü)2 5 * = 0
aufgefaßt, und die Koordinaten dieses Konnexes, die Produkte
Cik Cim, gelten als Koordinaten des Elementvereinkegelschnitts.
Die STUDYschen Koordinaten des Elementvereinkegelschnitts sind
also mit den GRASSMANNSchen Koordinaten der 7?-, identisch, auf
die wir die Elementvereinkegelschnitte durch Satz 7 abgebildet
haben. Study untersucht a. a. 0. die Abbildung, die entsteht,
wenn man diese Koordinaten als homogene Punktkoordinaten
deutet7 *).
7) Rechnet man im Falle einer Kurve 2. Ordnung vom Range 1, z. B.
der doppeltgezählten Geraden u, die Koordinaten des durch die Gleichungen
(5) dargestellten Rn aus, so ergeben sich kubische Formen in den Koor¬
dinaten Deutet man diese als homogene Koordinaten in einem höheren
Raum, so erhält man die bekannte Abbildung der Geraden (dual: der
Punkte) der Ebene auf die Punkte einer M29 im Rg.