Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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W. SüSS: Über Krümmungseigenschaften
Zum Vergleich der Krümmungsverhältnisse von Eiflächen in
Gegenpunkten sind die DuPiNschen Indikatrizen heranzuziehen.
Man sieht leicht ein, daß es stets ein Paar von Gegenpunkten
gibt, deren Indikatrizen einander homothetisch (ähnlich und zu-
einander ähnlich gelegen) sind (§ 3). Darüber hinaus wird hier
die anscheinend noch unbekannte Tatsache bewiesen, daß es
mindestens ein Paar von Gegenpunkten gibt, dessen Indikatrizen
einander kongruente Ellipsen sind.
§ 1. Satz von den Gegenpunkten bei Eilinien.
2. Als Ausgangspunkt wählen wir die bekannten Bedingungen
für die Geschlossenheit einer Eilinie: Für den Krümmungsradius
r als Funktion des Tangentenwinkels t ist bei Integration über
einen vollen Umlauf 4)
2 2 .t
(1) j r sin t dt = O, j r cos t dt — Q.
ö ö
Unabhängig von der Bedeutung der Funktion r(t), die als Krüm-
mungsradius einer Eilinie noch der Bedingung
(2) r(0^0
genügen muß, werden wir nun für jede (1) genügende stetige 5 6)
Funktion r(Z) auf dem Einheitskreis einen Satz von den Gegen-
punkten beweisen.
Für die Differenz
(3) d(f) = r(f)— r(t-[-n) = —d(t-\-n)
gilt nach (1)
(4) j d (t) sin t dt = O;
o
hierbei ist nach (1) der Nullpunkt der AZählung beliebig. Aus
Stetigkeitsgründen muß die auf dem Einheitskreis ungerade Funk-
tion d (Z) in mindestens einem Paar von Gegenpunkten ihr Vor-
zeichen wechseln; der Fall d(f) = O, in dem der Satz bedeu-
tungslos wird, sei ausgeschlossen. Wenn nun d bei t — 0 etwa
4) Vergl. z. B. die ausführlichere Darstellung bei L. Bieberbach, Diffe¬
rentialgeometrie. Leipzig u. Berlin 1932. S. 23ff.
6) Die Stetigkeit auf dem Kreis schließt also hier und später die
Periodizität ein.