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https://doi.org/10.11588/diglit.43716#0006
6 W. Süss: Über Krümmungseigenschaften
vier Extrema. Dort aber ist/?(0 = F' (0 = 0- Hiermit ist der Satz1)3)
gewonnen:
Ist u der Umfang einer Eilinie, so nimmt ihr Krümmungs-
radius r mindestens viermal den Wert an. Mindestens zwei
2 n
Maxima von r sind größer und zwei Minima kleiner als dieser
Wert, wenn man vom Fall des Kreises absieht. Der Nachsatz
ergibt sich daraus, daß den Extremwerten von F Vorzeichen-
wechsel _von f entsprechen.
Für Kurven konstanter Breite b ist bekanntlich
(7) r (t)r (tK) = b.
Bei ihnen liegt also einem Maximum von r ein Minimum gegenüber
und umgekehrt. Da andererseits Maxima und Minima auf der
Kurve abwechseln, müssen auf jeder Kurve konstanter Breite
nach dem Vierscheitelsatz mindestens sechs Scheitel liegen. Etwas
mehr schließt man schon aus dem Satz von den Gegenpunkten:
Kurven konstanter Breite b haben mindestens sechs Stellen, an
denen ihr Krümmungsradius denselben Wert annimmt.
4. Sind zwei Eilinien c und C mit den Krümmungsradien r
und R durch parallele Tangenten aufeinander bezogen, so gelten
die bisherigen Überlegungen auch für jede Linearkombination
r -P v R anstelle von r, wenn v konstant ist. Insbesondere hat
r-\-vR, wenn c und C nicht zueinander homothetisch sind, min-
destens zwei Maxima und zwei Minima, die größer bezw. kleiner
als 2,"““ sind, w0^e’ 11' U die Umfänge von c, C sind. Für
u = — 1 folgt daraus ein Satz von Segre 6) über Eilinien gleicher
Breiten. Von den vielen Anwendungen nenne ich nur noch eine
weitere: Unter C kann man auch die um einen beliebigen Winkel
w gedrehte Eilinie c verstehen. Ist z. B. c von konstanter Breite
und wieder v = — 1, so folgt wegen (7) aus dem Satz von den
Gegenpunkten folgende Erweiterung der Schlußbemerkung von
Nr. 3: Eine Eilinie konstanter Breite hat in jedem Intervall
ci<jt <fa-\-n und für jeden Winkel w mindestens drei Stellen
h (z = 1, 2, 3), an denen
r (ti + m) = r (tj)
ist. Für w = n ergibt sich der frühere Satz aus (7).
8) Vergl. a. in 3) unter c) a. 0., S. 457.
vier Extrema. Dort aber ist/?(0 = F' (0 = 0- Hiermit ist der Satz1)3)
gewonnen:
Ist u der Umfang einer Eilinie, so nimmt ihr Krümmungs-
radius r mindestens viermal den Wert an. Mindestens zwei
2 n
Maxima von r sind größer und zwei Minima kleiner als dieser
Wert, wenn man vom Fall des Kreises absieht. Der Nachsatz
ergibt sich daraus, daß den Extremwerten von F Vorzeichen-
wechsel _von f entsprechen.
Für Kurven konstanter Breite b ist bekanntlich
(7) r (t)r (tK) = b.
Bei ihnen liegt also einem Maximum von r ein Minimum gegenüber
und umgekehrt. Da andererseits Maxima und Minima auf der
Kurve abwechseln, müssen auf jeder Kurve konstanter Breite
nach dem Vierscheitelsatz mindestens sechs Scheitel liegen. Etwas
mehr schließt man schon aus dem Satz von den Gegenpunkten:
Kurven konstanter Breite b haben mindestens sechs Stellen, an
denen ihr Krümmungsradius denselben Wert annimmt.
4. Sind zwei Eilinien c und C mit den Krümmungsradien r
und R durch parallele Tangenten aufeinander bezogen, so gelten
die bisherigen Überlegungen auch für jede Linearkombination
r -P v R anstelle von r, wenn v konstant ist. Insbesondere hat
r-\-vR, wenn c und C nicht zueinander homothetisch sind, min-
destens zwei Maxima und zwei Minima, die größer bezw. kleiner
als 2,"““ sind, w0^e’ 11' U die Umfänge von c, C sind. Für
u = — 1 folgt daraus ein Satz von Segre 6) über Eilinien gleicher
Breiten. Von den vielen Anwendungen nenne ich nur noch eine
weitere: Unter C kann man auch die um einen beliebigen Winkel
w gedrehte Eilinie c verstehen. Ist z. B. c von konstanter Breite
und wieder v = — 1, so folgt wegen (7) aus dem Satz von den
Gegenpunkten folgende Erweiterung der Schlußbemerkung von
Nr. 3: Eine Eilinie konstanter Breite hat in jedem Intervall
ci<jt <fa-\-n und für jeden Winkel w mindestens drei Stellen
h (z = 1, 2, 3), an denen
r (ti + m) = r (tj)
ist. Für w = n ergibt sich der frühere Satz aus (7).
8) Vergl. a. in 3) unter c) a. 0., S. 457.