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https://doi.org/10.11588/diglit.43717#0005
Der Φ\-Vertauschungs-Calcül
5
Diese Calcüle leisten aber noch mehr. Sie geben eine regel-
rechte Beweistheorie für die synthetische Geometrie, da
dem Desarguesschen, V2 dem Pappus-Pascalschen Satze aequiva-
lent ist3). Man beherrscht also mit den Regeln beider Calcüle
beweistheoretisch alle Probleme, die mit dem Desarguesschen
bzw. dem Pappus-Pascalschen Satze — oder mit beiden be-
handelt werden können. Dies sind aber im wesentlichen sämt-
liche Aussagen der projektiven Geometrie. — Auch der Zusammen-
hang beider Axiome, der sich geometrisch in der von Hessen-
berg aufgefundenen Tatsache4) ausdrückt, kommt calcülmäßig da-
durch zum Ausdruck, daß die möglichen, unter Vj fallenden
Vertauschungen Φ/d (T=l, 2, ..., 6) und ihre Folgen durch
„große“ Vertauschungen und ihre Folgen ersetzt werden können,
aber nicht umgekehrt.
Der Zusammenhang beider Calcüle mit der Theorie der pro-
jektiven Abbildungen (Kollineationen) und mit der Gruppentheorie
— jede Calcül-Regel läßt sich nämlich auch als einfache Trans-
positionsgleichung (Permutationsgruppen) auffassen —, insbeson-
dere die hier obwaltenden analytischen Beziehungen, sollen an
anderer Stelle dargestellt werden.
In der vorliegenden Arbeit werden im § 2 die aufgrund des
Axioms V2 möglichen und wesentlichen Invarianzeigenschaften
bewiesen, im § 3 die Regeln des hieraus fließenden Calcüls ex-
plizit angegeben werden. — Weitere Operationsregeln für beide
Calcüle, mit denen der Aufbau einer Beweistheorie gelingt, die
als Elemente des Beweisverfahrens lediglich „Vertauschungen“
einstellt, werde ich in einer anderen Arbeit aufzeigen.
§ 2. V2-Invarianzen der Pascal-Anordnung.
1. V2 lautet:
Bilden die Punkte 1,2,3, 4, 5, 6 in dieser Reihenfolge eine
Pasccd-Anordnung (P. A. p0), dann bleibt diese Eigenschaft er-
halten nach Vertauschung eines gerade bezifferten Punktes mit
einem ungerade bezifferten Punkt (und umgekehrt)5 6).
3) a. in 2) a. 0. S. 9 11; S. 14.
4) G. Hessenberg, Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem (Pap-
pus-) Pascalschen, Math. Ann. 61 (1905), S. 161 — 172. Dieses Ergebnis läßt
sich calcülmäßig leicht gewinnen und ist aequivalent mit dem Nachweis
der Entbehrlichkeit des Axioms Vj, wie ich an anderer Stelle zeigen werde.
6) Nach der unter ’) genannten Arbeit sind der ursprünglichen P. A. p0
5
Diese Calcüle leisten aber noch mehr. Sie geben eine regel-
rechte Beweistheorie für die synthetische Geometrie, da
dem Desarguesschen, V2 dem Pappus-Pascalschen Satze aequiva-
lent ist3). Man beherrscht also mit den Regeln beider Calcüle
beweistheoretisch alle Probleme, die mit dem Desarguesschen
bzw. dem Pappus-Pascalschen Satze — oder mit beiden be-
handelt werden können. Dies sind aber im wesentlichen sämt-
liche Aussagen der projektiven Geometrie. — Auch der Zusammen-
hang beider Axiome, der sich geometrisch in der von Hessen-
berg aufgefundenen Tatsache4) ausdrückt, kommt calcülmäßig da-
durch zum Ausdruck, daß die möglichen, unter Vj fallenden
Vertauschungen Φ/d (T=l, 2, ..., 6) und ihre Folgen durch
„große“ Vertauschungen und ihre Folgen ersetzt werden können,
aber nicht umgekehrt.
Der Zusammenhang beider Calcüle mit der Theorie der pro-
jektiven Abbildungen (Kollineationen) und mit der Gruppentheorie
— jede Calcül-Regel läßt sich nämlich auch als einfache Trans-
positionsgleichung (Permutationsgruppen) auffassen —, insbeson-
dere die hier obwaltenden analytischen Beziehungen, sollen an
anderer Stelle dargestellt werden.
In der vorliegenden Arbeit werden im § 2 die aufgrund des
Axioms V2 möglichen und wesentlichen Invarianzeigenschaften
bewiesen, im § 3 die Regeln des hieraus fließenden Calcüls ex-
plizit angegeben werden. — Weitere Operationsregeln für beide
Calcüle, mit denen der Aufbau einer Beweistheorie gelingt, die
als Elemente des Beweisverfahrens lediglich „Vertauschungen“
einstellt, werde ich in einer anderen Arbeit aufzeigen.
§ 2. V2-Invarianzen der Pascal-Anordnung.
1. V2 lautet:
Bilden die Punkte 1,2,3, 4, 5, 6 in dieser Reihenfolge eine
Pasccd-Anordnung (P. A. p0), dann bleibt diese Eigenschaft er-
halten nach Vertauschung eines gerade bezifferten Punktes mit
einem ungerade bezifferten Punkt (und umgekehrt)5 6).
3) a. in 2) a. 0. S. 9 11; S. 14.
4) G. Hessenberg, Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem (Pap-
pus-) Pascalschen, Math. Ann. 61 (1905), S. 161 — 172. Dieses Ergebnis läßt
sich calcülmäßig leicht gewinnen und ist aequivalent mit dem Nachweis
der Entbehrlichkeit des Axioms Vj, wie ich an anderer Stelle zeigen werde.
6) Nach der unter ’) genannten Arbeit sind der ursprünglichen P. A. p0