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https://doi.org/10.11588/diglit.43717#0009
Der ^-Vertauschungs-Calciil
9
P. A. p0 in die ihr (durch gleichen Index) entsprechende P. A. qv
über n).
Beweis: Für den Fall, daß als 3θ6 (wie im vorigen
Beweis) genommen wird (für die anderen acht (F/* 9’) verläuft der
Beweis analog) zeigen die ungeraden Vertauschungsschritte in
der S2-Beweisführung, daß man dabei zu der P. A. q4 (3θ6)
kommt. (Vgl. (**) unter 1.)
Es folgt jetzt der in diesem Zusammenhang wichtigste Satz
S4, der mit (**) das durch „große“ Vertauschungen geleistete
Abbildungsverfahren und die Abbildung von Pascal-Figuren selbst
vollständig aufdeckt.
S4: Übt man auf irgendeine P. A. p0 nacheinander die drei, je
den drei Indextripeln v= 1, 4, 7; μ = 2, 5, 8; 2 = 3, 6, 9 12)
oder ihren — innerhalb jedes Tripels vorgenommenen — Permu-
tationen 13 *) entsprechenden (oder ihre (ganzzahlige) Folge) u)
aus, so geht dabei jeweilen die Gerade p0 in sich über derart,
daß zwei der PfP (z' = 1, 2, 3) wechselseitig ineinander übergehen,
während der dritte Pü> fest bleibt oder in sich übergeht15). —
Geschrieben:
u) Wir bezeichnen dies mit:
(ip^f (Pf‘’))= ipßvf .(Pfü ····, ^/9’))= (Ρ^+ι
(2n +1)- mal
(J=l, 2, ..., 9; /z = 0, 1, 2, ...).
12) Diese Folgen bezeichnen wir so:
φ’3(1,4,7)=(ϊΓι(1)> öTi(4)j ^(7)). ^3(2,518) = (^i(2)j ^(5), ^(8)).
2^(3, 6, 9) = (^(3), ^(6), 2^(9)).
13) tF3(1.4,7)) ?J3(1,7,4)) ^(4,1,7), ^(4,7,1), 2^(7. 1,4), ^(7,4,1)
3V2>5 *>8),.'.· · - , ^v8,5,2)
pß3’ 6· 9),., PßS· 6. 3) .
u) Entsprechend 12) und 13) bezeichnen wir die sinngemäßen Verall-
gemeinerungen dieser dreielementigen Folgen mit
^3n’ r'2’ '’;i) Üi > »pü 1. 4, 7);
, ."0 ζ,Ζι , ^^^ = 2, 5, 8);
^’λ2,;·3) (A , 22^23=3, 6, 9);
ϋιψ Ρίψ ü’· z = l, 2, 3; « = 1, 2,.)
1δ) Vgl. a. in ®) a. 0., S. 34—38.
9
P. A. p0 in die ihr (durch gleichen Index) entsprechende P. A. qv
über n).
Beweis: Für den Fall, daß als 3θ6 (wie im vorigen
Beweis) genommen wird (für die anderen acht (F/* 9’) verläuft der
Beweis analog) zeigen die ungeraden Vertauschungsschritte in
der S2-Beweisführung, daß man dabei zu der P. A. q4 (3θ6)
kommt. (Vgl. (**) unter 1.)
Es folgt jetzt der in diesem Zusammenhang wichtigste Satz
S4, der mit (**) das durch „große“ Vertauschungen geleistete
Abbildungsverfahren und die Abbildung von Pascal-Figuren selbst
vollständig aufdeckt.
S4: Übt man auf irgendeine P. A. p0 nacheinander die drei, je
den drei Indextripeln v= 1, 4, 7; μ = 2, 5, 8; 2 = 3, 6, 9 12)
oder ihren — innerhalb jedes Tripels vorgenommenen — Permu-
tationen 13 *) entsprechenden (oder ihre (ganzzahlige) Folge) u)
aus, so geht dabei jeweilen die Gerade p0 in sich über derart,
daß zwei der PfP (z' = 1, 2, 3) wechselseitig ineinander übergehen,
während der dritte Pü> fest bleibt oder in sich übergeht15). —
Geschrieben:
u) Wir bezeichnen dies mit:
(ip^f (Pf‘’))= ipßvf .(Pfü ····, ^/9’))= (Ρ^+ι
(2n +1)- mal
(J=l, 2, ..., 9; /z = 0, 1, 2, ...).
12) Diese Folgen bezeichnen wir so:
φ’3(1,4,7)=(ϊΓι(1)> öTi(4)j ^(7)). ^3(2,518) = (^i(2)j ^(5), ^(8)).
2^(3, 6, 9) = (^(3), ^(6), 2^(9)).
13) tF3(1.4,7)) ?J3(1,7,4)) ^(4,1,7), ^(4,7,1), 2^(7. 1,4), ^(7,4,1)
3V2>5 *>8),.'.· · - , ^v8,5,2)
pß3’ 6· 9),., PßS· 6. 3) .
u) Entsprechend 12) und 13) bezeichnen wir die sinngemäßen Verall-
gemeinerungen dieser dreielementigen Folgen mit
^3n’ r'2’ '’;i) Üi > »pü 1. 4, 7);
, ."0 ζ,Ζι , ^^^ = 2, 5, 8);
^’λ2,;·3) (A , 22^23=3, 6, 9);
ϋιψ Ρίψ ü’· z = l, 2, 3; « = 1, 2,.)
1δ) Vgl. a. in ®) a. 0., S. 34—38.