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https://doi.org/10.11588/diglit.43728#0008
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Lothar Heffter: Abbildung des hyperbolischen
sodaß also die hyperbolischen Geraden auch als geodätische
Linien in der hyperbolischen Ebene bezeichnet werden können.
Da die Streckenmessung auf den hyperbolischen Geraden nach
(14) additiv ist, mußten sie ja hyperbolisch kürzeste Linien sein.
Durch die Festsetzung, daß je zwei uneigentliche Punkte (<*>, g>)
und (oo, der Euklidischen Ebene als verschieden gelten
und daß das innere Krümmungsmaß der Ebene = —1
sein soll, kann die Ebene ohne Zurückgreifen auf das
Modell als hyperbolisch definiert werden.
III. Der hyperbolische Raum.
Wenige Worte genügen jetzt, um die Betrachtungen auf den
Raum auszudehnen. Hier haben wir als KLEiN’sches Modell die
Einheitskugel um den Nullpunkt eines xz/z-Koordinatensystems.
Durch die der Abbildung (11) entsprechende Abbildung erweitern
wir das Modell zu dem unendlichen hyperbolischen Raum. Die
hyperbolischen Geraden sind die Bilder geradliniger Sehnen
des Modells, also von derselben Art wie in II. Die hyperbolischen
Ebenen aber sind die Bilder von Schnittkreisflächen des Modells,
also hyperboloidähnliche Rotationsflächen. Zwei solche schneiden
einander stets in hyperbolischen Geraden. Nur die hyperbolischen
Ebenen durch O sind zugleich Euklidisch eben.
Entsprechend wie in II. ergibt sich der Ausdruck für das hyper-
bolische Linien- (Flächen-, Volumen-) Element und, daß diesem
hyperbolischen Raum das konstante innere Krümmungsmaß —1
zugesprochen werden muß.
IV. Die elliptische Gerade.
Das Modell einer elliptischen Geraden ist die Euklidische Ge-
rade, die nur einen, aber nicht ausgezeichneten uneigentlichen
Punkt besitzt, während die beiden Punkte Jx, J2 (x = + /)in des
Wortes eigentlichster Bedeutung „maßgebend“ sind. Der Ab-
stand zweier Punkte Pr, P2 wird elliptisch gemessen, d. h. er ist
(i')4) Tt10g Ji =arctg (vGa;) •
4) Des bequemeren Vergleiches wegen bezeichne ich die folgenden
Formeln mit denselben, nur akzentuierten Nummern wie die entsprechenden
in I., II., III..
Lothar Heffter: Abbildung des hyperbolischen
sodaß also die hyperbolischen Geraden auch als geodätische
Linien in der hyperbolischen Ebene bezeichnet werden können.
Da die Streckenmessung auf den hyperbolischen Geraden nach
(14) additiv ist, mußten sie ja hyperbolisch kürzeste Linien sein.
Durch die Festsetzung, daß je zwei uneigentliche Punkte (<*>, g>)
und (oo, der Euklidischen Ebene als verschieden gelten
und daß das innere Krümmungsmaß der Ebene = —1
sein soll, kann die Ebene ohne Zurückgreifen auf das
Modell als hyperbolisch definiert werden.
III. Der hyperbolische Raum.
Wenige Worte genügen jetzt, um die Betrachtungen auf den
Raum auszudehnen. Hier haben wir als KLEiN’sches Modell die
Einheitskugel um den Nullpunkt eines xz/z-Koordinatensystems.
Durch die der Abbildung (11) entsprechende Abbildung erweitern
wir das Modell zu dem unendlichen hyperbolischen Raum. Die
hyperbolischen Geraden sind die Bilder geradliniger Sehnen
des Modells, also von derselben Art wie in II. Die hyperbolischen
Ebenen aber sind die Bilder von Schnittkreisflächen des Modells,
also hyperboloidähnliche Rotationsflächen. Zwei solche schneiden
einander stets in hyperbolischen Geraden. Nur die hyperbolischen
Ebenen durch O sind zugleich Euklidisch eben.
Entsprechend wie in II. ergibt sich der Ausdruck für das hyper-
bolische Linien- (Flächen-, Volumen-) Element und, daß diesem
hyperbolischen Raum das konstante innere Krümmungsmaß —1
zugesprochen werden muß.
IV. Die elliptische Gerade.
Das Modell einer elliptischen Geraden ist die Euklidische Ge-
rade, die nur einen, aber nicht ausgezeichneten uneigentlichen
Punkt besitzt, während die beiden Punkte Jx, J2 (x = + /)in des
Wortes eigentlichster Bedeutung „maßgebend“ sind. Der Ab-
stand zweier Punkte Pr, P2 wird elliptisch gemessen, d. h. er ist
(i')4) Tt10g Ji =arctg (vGa;) •
4) Des bequemeren Vergleiches wegen bezeichne ich die folgenden
Formeln mit denselben, nur akzentuierten Nummern wie die entsprechenden
in I., II., III..