Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Lothar Heffter : Abbildung des hyperbolischen

(11') r = tg(), $> = arctg r,
sodaß Die unendliche elliptische Modellebene geht also
in die endliche elliptische Kreisfläche um O mit dem Ra-
dius über, wobei aber je zwei diametrale Punkte als der-
selbe Punkt zu gelten haben: Die „elliptische Ebene“, d.h.
diese Kreisfläche, ist das Bild der unendlichen elliptischen Modell-
ebene, nachdem diese längs der uneigentlichen Geraden aufge-
schnitten ist. M. a. W. der Rand dieser Kreisfläche ist mit sich
selbst so zusammenzuheften, daß jeder Punkt mit seinem dia-
metralen zusammengeheftet wird. So entsteht eine ins Endliche
gezogene einseitige, sich selbst durchsetzende Fläche als Bild der
ganzen einseitigen, längs ihrer uneigentlichen Geraden nicht
aufgeschnittenen Euklidischen Ebene. (Es gibt bekannte plastische
Modelle, die eine solche Fläche anschaulich machen.)
Eine beliebige Modellgerade, die wir parallel der z/-Achse an-
nehmen dürfen,
(12') x = c oder r = - -C , I c | < 00 ,
cos cp
hat als Bild in der elliptischen Ebene die „elliptische Gerade“
(13') £ = arctg
die einer halben Ellipse ähnelt, deren große Achse der der Ge-
raden parallele Durchmesser des elliptischen Begrenzungskreises
ist. Beim Zusammenbiegen des Kreises werden diese elliptischen
Geraden also endliche geschlossene Linien.
Die elliptischen Bewegungen lassenden (Euklidisch unend-
lich großen) Kreis mit dem imaginären Radius = arctg i im
ganzen invariant. Bei denjenigen, bei denen sich ein Punkt auf
der x-Achse verschiebt, bleibt der Punkt x = 0, y = +-|- fest, und
die durch diesen Punkt gehenden elliptischen Geraden gehen
zyklisch ineinander über.
Die elliptischen Messungen der Strecken und Winkel im
elliptischen Modell sollen — so definieren wir — auch die Maß-
zahlen der entsprechenden Strecken und Winkel in der elliptischen
Kreisebene liefern. Alle elliptischen Geraden haben danach die
Länge n. — Ferner findet man als Linienelement in der
elliptischen Ebene