Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

8 M. Müller: RiEMÄNN’sches Integral
Wir wenden uns zum Beweis der Formel (3).
Da nach Voraussetzung jede der Funktionen xv(t) und, wie
soeben bewiesen wurde, auch die Funktion F(t) über das Inter-
vall (ci,b) integrierbar ist, können wir zu jeder positiven Zahl e
die Zahl 0 (e) so bestimmen, daß für jede Zerlegung ß, bei der
21 (3) <$(0 ist, die Ungleichungen (4) gelten und außerdem
? r-1
(9) / F(t)dt- 2 F(tJ (L+1-L) |<e
a P=°
wird. Da die Stelle Cm(w), . ..,x„(?ne)) im Quader Ö liegt, ist
f(xi (ko), ■ ■., xn (o?o)) wohl definiert. Es gilt folgende Abschätzung:
? r-1
/ F (t) dt — 2 f Cm (w), Xn (rne)) (U+1 — U)
a 0 = 0
I ? r — 1
; / FQ) dt — ^ f(xx (4), xn (U)) (U+i — F)
« e=o
r— 1
+ y | f(xi (C>) , x„ (F)) — /CM (r10), . . , X„(r„P)) (Q + l — U) •
e=o' 1
Hier ist der erste Bestandteil gleich der linken Seite der Un-
gleichung (9), also kleiner als e. Mit Rücksicht auf (7) ist der zweite
Bestandteil
vi11 I
| f Cm (fe)> • • •, xn (F>)) f Cm (^i?) > • ■ • > X« (jno)) j (^+1 u)
= y ! / <M (<o) , . . . , X„ (U) ) — Z Cm ( Wo) , . . . , xn Fno) ) | (^ +1 — U)
+ yf Cm (Q), • • • , X>1 (Q) ) — f (-M (w), • • ■, X„ (r„o) ) (u +1 — u)
v y x (C'+i f) h- 2 m y (u+i c?)
< 7] (b-d)-\-2Mn^ .
ö (x)
Also ist, sobald zi (ß)< $Q), d. h. bei hinreichend feiner Zer-
legung,
[ F (f) dt y / (-M (00), • • •, x» (o?o)) (F+i ■ U) I 2 f,
<7. £> = 0
d. h., weil £ beliebig klein sein kann, die Formel (3) richtig.