Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen
ist dies klar; wenn sie innere Punkte enthält, so folgt es aus
der in 21* geltenden Ungleichung
Xu (ll , u0) = fu (ZZ , ZZ0) + /f > 0 ,
weil darnach die Gleichung x0 = A(zz, zz0) nur eine einzige Auf-
lösung zz0 nach zz besitzt. Da in 21
(88) D (zz, zz) = fu (zz, n) + /f > 0
ist, besagen mit Rücksicht auf die Bemerkungen in Nr. 1 die
Hilfssätze 3 und 6, daß auch der Bildbereich 23 von 21 ein Gebiet
ist. Die Bildpunkte der Punkte von $ sind daher Punkte des
Randes $* = 23'— 23 von 25; ihre Koordinaten werden durch
die Formeln

(89) x = x(Q = f(ii (f), zz(f)) + 7fzz (0, */=w(0 = ^(0

geliefert. Wegen der Eineindeutigkeit der Abbildung (87) in
21+ $ ist insbesondere $* eineindeutiges und stetiges Bild der
Jordan kurve $, also selbst eine Jordan kurve.
Die Kurve $* mit der Parameterdarstellung (89) erfüllt hier-
nach die Voraussetzungen des Satzes 4. Es existiert also J(9X),

und es ist

(90) J(23)=±

ß



Wir wollen die Gültigkeit des Vorzeichens entscheiden. Dazu
betrachten wir zunächst ein abgeschlossenes, achsenparalleles,
ganz in 21 liegendes Quadrat q und sein Bild V. Das Bild r des
Randes von q ist wegen der Eineindeutigkeit und Stetigkeit der
Abbildung (87) eine ü begrenzende JORDANkurve, in deren Para-
meterdarstellung, wie ein Vergleich mit (52) lehrt, x eine stetige, y
eine abteilungsweise lineare Funktion des Parameters ist. Nach
§ 6, 3 existiert also, wie schon in Nr. 1 ausgeführt wurde, F(r);
nach (53) und (88) ist
F(r) = I D (zz, zz) da 3> 0.
q
Nach Satz 3 ist also der ausgezeichnete Durchlaufungssinn von
r, der dem positiven Durchlaufungssinn des Randes von q ent-
spricht, der positive Durchlaufungssinn. Betrachten wir jetzt ein
in 21 verlaufendes, doppelpunktfreies, geschlossenes Polygon G,
das Rand eines Bereiches ist, der aus Quadraten der eben be-
trachteten Art zusammengesetzt ist, und seine Bildkurve S*, so