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https://doi.org/10.11588/diglit.43795#0005
hyperabelschen Transformationen
5
(4) = y^ = x^n + ^ (v= 1, ..., zz),
so kann man leicht zeigen, daß eine quadratische Differentialform
2rt
ds*= dx^ dx^
V, fJ, — 1
(civ/j, ==z dfiv == ßfv/z (7) )
durch die Forderung der Invarianz bei sämtlichen Substitutionen
(2) und beliebiger Permutation der Veränderlichen *(1), ..., dD
bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt ist. ds2 hat
notwendig die Gestalt
(5)
n
ds'2 = S
V = 1
(<7x(d)2-|- (c/z/("))2
FF
Da sich bekanntlich aus den soeben genannten Abbildungen alle
Automorphismen von d. h. alle eineindeutigen analytischen
Abbildungen von X auf sich zusammensetzen lassen, so ist also
die dem Bereich £ zugeordnete, durch (5) erklärte nichteuklidi-
sche Metrik durch X in natürlicher Weise eindeutig bestimmt.
Die Tatsache, daß es zwischen zwei beliebigen Punkten von 2
genau eine Verbindung kürzester nichteuklidischer Länge gibt,
ermöglicht es, in £ in bescheidenem Umfange eine Geometrie
zu betreiben. Dabei liegt die Schwerfälligkeit in der Behandlung
auch schon einfacher geometrischer Fragen darin begründet, daß
£ im Falle n >* 1 relativ starr ist, d. h. eine Automorphismen-
gruppe von nur geringer Parameterzahl besitzt. Es ist z. B. im
allgemeinen unmöglich, zwei Punkte von die von einem
dritten gleichen nichteuklidischen Abstand haben, durch einen
Automorphismus von X, der den dritten Punkt festläßt, zur
Deckung zu bringen. Die durch (5) definierte Maßbestimmung
kann man zur Konstruktion eines Fundamentalbereiches für eine
vorgelegte diskontinuierliche Gruppe G nutzbar machen, indem
man nach bekanntem Vorbild (vergl. W, S. 154) alle Punkte von
die einem festen Punkt aus einer geeigneten vollen Serie
nach G äquivalenter Punkte im Sinne dieser Maßbestimmung am
nächsten liegen, zu einer Menge zusammenfaßt. Diese Punkt-
menge, die einen Fundamentalbereich für G darstellt, zeigt im
Innern von X ein befriedigendes Verhalten, dagegen werden die
Verhältnisse bei Annäherung an den Rand von £, sofern der
Fundamentalbereich Punkte beliebig großer nichteuklidischer Ent-
fernung besitzt, auch schon für n = 1 etwas undurchsichtig. Für
5
(4) = y^ = x^n + ^ (v= 1, ..., zz),
so kann man leicht zeigen, daß eine quadratische Differentialform
2rt
ds*= dx^ dx^
V, fJ, — 1
(civ/j, ==z dfiv == ßfv/z (7) )
durch die Forderung der Invarianz bei sämtlichen Substitutionen
(2) und beliebiger Permutation der Veränderlichen *(1), ..., dD
bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt ist. ds2 hat
notwendig die Gestalt
(5)
n
ds'2 = S
V = 1
(<7x(d)2-|- (c/z/("))2
FF
Da sich bekanntlich aus den soeben genannten Abbildungen alle
Automorphismen von d. h. alle eineindeutigen analytischen
Abbildungen von X auf sich zusammensetzen lassen, so ist also
die dem Bereich £ zugeordnete, durch (5) erklärte nichteuklidi-
sche Metrik durch X in natürlicher Weise eindeutig bestimmt.
Die Tatsache, daß es zwischen zwei beliebigen Punkten von 2
genau eine Verbindung kürzester nichteuklidischer Länge gibt,
ermöglicht es, in £ in bescheidenem Umfange eine Geometrie
zu betreiben. Dabei liegt die Schwerfälligkeit in der Behandlung
auch schon einfacher geometrischer Fragen darin begründet, daß
£ im Falle n >* 1 relativ starr ist, d. h. eine Automorphismen-
gruppe von nur geringer Parameterzahl besitzt. Es ist z. B. im
allgemeinen unmöglich, zwei Punkte von die von einem
dritten gleichen nichteuklidischen Abstand haben, durch einen
Automorphismus von X, der den dritten Punkt festläßt, zur
Deckung zu bringen. Die durch (5) definierte Maßbestimmung
kann man zur Konstruktion eines Fundamentalbereiches für eine
vorgelegte diskontinuierliche Gruppe G nutzbar machen, indem
man nach bekanntem Vorbild (vergl. W, S. 154) alle Punkte von
die einem festen Punkt aus einer geeigneten vollen Serie
nach G äquivalenter Punkte im Sinne dieser Maßbestimmung am
nächsten liegen, zu einer Menge zusammenfaßt. Diese Punkt-
menge, die einen Fundamentalbereich für G darstellt, zeigt im
Innern von X ein befriedigendes Verhalten, dagegen werden die
Verhältnisse bei Annäherung an den Rand von £, sofern der
Fundamentalbereich Punkte beliebig großer nichteuklidischer Ent-
fernung besitzt, auch schon für n = 1 etwas undurchsichtig. Für