Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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LeoKoenigsberger:

(ß) Llß)'i"^2(ßf*i"L(ß)"t"-'-'
sich von A um weniger als 5 unterscheidet, sagen würde, daß
tür x —: ß einer der Werte der Reihe (1) gleich A ist.
Für die Anwendung dieses Satzes, daß unter den ge-
machten Voraussetzungen die Reihe (1) tür x — ct von einem
bestimmten Werte des Stellenzeigers n an immer nur irrationale
Werte annimmt, wird es somit darauf ankommen, zu entscheiden,
wann zwei Größen und c^, welche der Reihe (1) denselben
Wert A erteilen, nicht Lösungen einer irreduktibeln Gleichung
sein können, oder vielmehr, da man im allgemeinen die Zahlen-
werte dieser Größen nicht kennt, sondern nur die Beziehungen,
in denen sie zueinander stehen, wann sich stets irreduktible
Gleichungen aufstellen lassen, in denen zwischen zweien ihrer
Lösungen eine gegebene Relation stattfindet und wann nicht.
So wird z. B. die Sinusreihe den Wert Null nur für x = m rr an-
nehmen, worin m eine beliebige positive oder negative ganze
Zahl bedeutet, und es würde daher die obige Fragestellung nicht
in dem Sinne aufzufassen sein, ob zwei der Zahlen 0, ± 7t, + 2 ir.
. . . . einer irreduktibeln Gleichung angehören können, sondern
es würde die zur Anwendung kommende Untersuchung die Frage
zu beantworten haben, ob zwei nicht rationale Größen ct, und
otg, welche durch die Beziehung verknüpft sind
(4) ctg = p op,
worin p eine positive oder negative ganze Zahl bedeutet,
einer irreduktibeln Gleichung mit rationalen Zahlenkoeffizienten
als Lösungen angehören können, ohne daß der Charakter der-
selben, ein Multiplum von n zu sein, dabei in Betracht kommt,
Da sich für den Fall einer algebraischen Beziehung zwischen
zwei Lösungen einer irreduktibeln Gleichung die sämtlichen
Lösungen dieser in Gruppen iterierter algebraischer Funktionen
ordnen lassen, übrigens derartige Beziehungen stets auf rationale
zurückgeführt werden können, und sich weiter jede rationale
und rationalzahlige Funktion der Lösung einer rationalzahligen
Gleichung auf eine ebensolche ganze Funktion dieser Lösung
reduzieren läßt, so brauchen wir nur die Frage zu beantworten,
oh sich für jede Wahl der rationalen Zahlen p, v, . . . p, o*
stets eine irreduktible Gleichung irgendwelchen Grades auf-
stellen läßt, für welche zwei ihrer Lösungen in der Beziehung
stehen