DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.37021#0014
14
LeoKoenigsberger:
und die Beziehung zwischen den Lösungen
otg^jua^-t-voti-ip
gehen die oben aufgestellten Beziehungen zwischen den Potenz-
summen in
Si = n Sg + V Si + 3 p
Sg = h" + 2 p v Sg + (v^ + 2 p p) Sg + 2 v p si + 3 p^
S3 = P" Sg + 3 p^ v Sg + (3 p + 3 p^ p) s^ + (6 p v p + vG s.
4* (3 pp*-}- 3 w p) Sg -}- 3 P^ v Si -]- .4 p'
über, von denen die beiden ersten p. und pg als rationale
Funktionen von pi liefern, welche in die dritte eingesetzt die Sub-
stitutionskoeffizienten p, v, p der Bedingung unterwerfen, daß
diese Gleichung für pi eine rationale Lösung liefert.
Aus den obigen Auseinandersetzungen folgt, daß, wenn ein
Wert cp einer beständig konvergierenden Reihe von der Form
(1) einen Wert A erteilt, und alle Werte von x, für welche
die Reihe denselben Wert annimmt, durch
(*K = ÜK Hl + V,<
dargestellt sind, worin p^ und v^ rationale Zahlen bedeuten,
die Reihe (2) von einem endlichen Index n an stets irrationale
Werte annimmt, wenn nicht cp entweder selbst rational, oder
die Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Ko-
effizienten ist. Denn wenn sich stets für eine beliebig große ganze
Zahl r) ein Index n q angeben ließe, für welchen die Reihe
(2) einen rationalen Wert annähme, so würden alle Lösungen
der zu cq gehörigen irreduktibeln rationalzahligen Gleichung der
unendlichen Reihe (1) denselben Wert A erteilen, und es müßten
also alle diese Lösungen in der obigen Form von enthalten sein.
Von welchem, jedenfalls paaren, Grade aber die irreduktible
Gleichung sein mag, weiche zwei oder mehrere dieser a-Größen
zu Lösungen hat, es muß, wie oben gezeigt worden, jedenfalls
Px = — 1 sein, und alle jene Lösungen somit in der Form ent-
halten sein
CG = — (*1 + W -
Da sich aber dann zwei dieser Lösungen cxx, und vermöge der
Beziehung
um eine rationale Zahl unterscheiden würden, so müßte die
irreduktible Gleichung vom zweiten Grade mit den Lösungen
a, und
v von der Form sein
LeoKoenigsberger:
und die Beziehung zwischen den Lösungen
otg^jua^-t-voti-ip
gehen die oben aufgestellten Beziehungen zwischen den Potenz-
summen in
Si = n Sg + V Si + 3 p
Sg = h" + 2 p v Sg + (v^ + 2 p p) Sg + 2 v p si + 3 p^
S3 = P" Sg + 3 p^ v Sg + (3 p + 3 p^ p) s^ + (6 p v p + vG s.
4* (3 pp*-}- 3 w p) Sg -}- 3 P^ v Si -]- .4 p'
über, von denen die beiden ersten p. und pg als rationale
Funktionen von pi liefern, welche in die dritte eingesetzt die Sub-
stitutionskoeffizienten p, v, p der Bedingung unterwerfen, daß
diese Gleichung für pi eine rationale Lösung liefert.
Aus den obigen Auseinandersetzungen folgt, daß, wenn ein
Wert cp einer beständig konvergierenden Reihe von der Form
(1) einen Wert A erteilt, und alle Werte von x, für welche
die Reihe denselben Wert annimmt, durch
(*K = ÜK Hl + V,<
dargestellt sind, worin p^ und v^ rationale Zahlen bedeuten,
die Reihe (2) von einem endlichen Index n an stets irrationale
Werte annimmt, wenn nicht cp entweder selbst rational, oder
die Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Ko-
effizienten ist. Denn wenn sich stets für eine beliebig große ganze
Zahl r) ein Index n q angeben ließe, für welchen die Reihe
(2) einen rationalen Wert annähme, so würden alle Lösungen
der zu cq gehörigen irreduktibeln rationalzahligen Gleichung der
unendlichen Reihe (1) denselben Wert A erteilen, und es müßten
also alle diese Lösungen in der obigen Form von enthalten sein.
Von welchem, jedenfalls paaren, Grade aber die irreduktible
Gleichung sein mag, weiche zwei oder mehrere dieser a-Größen
zu Lösungen hat, es muß, wie oben gezeigt worden, jedenfalls
Px = — 1 sein, und alle jene Lösungen somit in der Form ent-
halten sein
CG = — (*1 + W -
Da sich aber dann zwei dieser Lösungen cxx, und vermöge der
Beziehung
um eine rationale Zahl unterscheiden würden, so müßte die
irreduktible Gleichung vom zweiten Grade mit den Lösungen
a, und
v von der Form sein