Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über einen zahlentheoretischen Satz etc.

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Vorbemerkung: Nach dem Vorangehenden ist es gleich-
bedeutend, statt (4)
m
(6) (p, m) = 1, 1 Vp<g-
anzusetzen, und für den Unmöglichkeitsbeweis erlaubt, m gerade
und'
2<k< ^
4
anzunehmen. Es lautet also die
Behauptung: Zu keiner geraden Zahl mU>60 gibt es
ein ganzes k derart, daß
2 < k < ^

i, i^p<y

m

k p <^ 2 (mod. m)

ist und aus
(6) (p, m)
die Ungleichung
(5)
folgt.
Zugleich wird (was eine Abkürzung des Ausprobierens der
endlich vielen Fälle m = 8, 10, 12, . . ., 58, 60 ist) der folgende
Beweis ergeben, daß bis 60 nur folgende vier nicht trivialen Fälle
vorhanden sind :
m=12, k = 3; p = l, 5; kp^ 3, 3.
m = 20, k = 3; p = l, 3, 7, 9; k p 3, 9, 1, 7.
m = 24, k = 5; p=l, 5, 7, 11; kp =5, 1, 11, 7.
m = 60, k = 11; siehe oben.
Gleichzeitig ergibt sich aus dem zu beweisenden Satz, daß
nur für endlich viele m die Zahlen p eine Gruppe bilden;
denn, wenn sie eine Gruppe bilden, ist jede von ihnen ein k (sc.
mit der Eigenschaft) im Intervall 1 <L k <7 ^ ; also ist die An-

zahl der zu m teilerfremden k dieses Intervalls

(ppn)
2

ist die Anzahl der zu m teilerfremden k des Intervalls 1 <L k
nach dem Obigen

Nun
m
2