Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Edmund Landau:

c-)-zm 0(mod. p),
so ist mindestens eine der beiden Ungleichungen
(21) Xo<:zo, y.Uzo
erfüllt.
Diese schon in meiner älteren Arbeit hergeleitete Tatsache
hatte ich seinerzeit auf die Primzahlen p der Linearform m t -j- 1
angewandt. Heute werde ich sie auf die Primzahlen einer belie-
bigen Linearform m t -)- q anwenden, wo q irgendein vollständiges
Restsystem teilerfremder Zahlen modulo m durchläuft.
Es sei also (q, m) = 1. Nach dem DiRiCHLET'schen Satz gibt
es eine Primzahl
p = m to 4- q h> N.
Es bedeute p diejenige Zahl, für welche
1 A P K m — 1, p q = 1 (mod. m)

ist, so daß p mit q ein Restsystem teilerfremder Zahlen modulo m
durchläuft. Dann ist die Zahl
PP —1

x = a

m

ganz wegen

pp pq 1 (mod. m),
und sie genügt der Kongruenz (19), da ja für sie
a -j- x m & (pp — 1) = a p p
ist. Es ist also x^ der kleinste positive Rest von a

PP—I
m

modulo p und läßt sich in folgender Form darstellen. Es bezeichne
a^ (bzw. nachher bp und Cp) den kleinsten positiven ResD) von
p a (bzw. p b und p c) modulo m, so daß (weil — nicht ganz ist),
1 A a^ A m —1
ist, und es werde die ganze Zahl

p a

m

= A

gesetzt. Dann ist
pp—1 p a
a — =pa --
in m m

A

m —

= a

m

m

P-L )+Ar

m

(mod. p).

P Es ist also

- der kleinste positive Rest von p M modulo 1
m