DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.37071#0022
22
Edmund Landau:
In meiner erwähnten Arbeithatte ich nur p = t, d. h.
(wegen q== 1) den elementar beweisbaren DiRiCHLETschen Satz
für die Progression m t 1 benutzt; ich hatte daher damals
geschlossen:
a<Ac(mod. m) oder b<hc(mod. m) oder beides.
In jener Arbeit gebrauchte ich dann die Tatsache, daß genau eine dieser
beiden Ungleichungen gilt, d. h. die andere nicht (so daß modulo
m entweder a<fc<fb oder b<fc<fa sein muß); um diese Tat-
sache zu beweisen, hatte ich auf die Theorie der hypergeometrischen
Reihe zurückgegritfen. Dies läßt sich auch vermeiden und durch
meine obigen Schlüsse in Verbindung mit dem (auch elementar^)
beweisbaren) Spezialfali q = m — 1 des DiRiCHLETschen Satzes
ersetzen; für q = m — 1 ist p = m — 1, also
(m — 1) a <P (m — 1) c (mod. m) oder (m — 1) b (m — 1) c (mod. m)
oder beides,
d. h.
— a — c (mod. m) oder — b <f — c (mod. m) oder beides,
d. h.
a c (mod. m) oder b c (mod. m) oder beides,
also c modulo m zwischen a und b gelegen, w^as zu beweisen w^ar.
Überhaupt schließe ich allgemein aus (22) so weiter: Wenn
mit q die Zahl m — q betrachtet wird, die ja auch zu m teilerfremd
ist, so geht p in m — p über. Es ist also nach (22)
(m — p) a <f (m — p) c (mod. m) oder (m — p) b <f (m — p) c (mod. m)
oder beides,
d. h.
— p a — p c (mod. m) oder — p b <f — p c (mod. m) oder beides,
folglich
(23) p a A> p c (mod. m) oder p b p c (mod. m) oder beides.
Aus (22) und (23) folgt
(24) p a p c p b (mod. m) oder pa]>pcb>pb (mod. m);
dies hat sich als notwendige Bedingung dafür ergeben, daß
') Deren Ziel war, auf Grund des EisENSTEix-HEiNE'schen Satzes den Trans-
zendenzbeweis in dem Fall zu führen, daß die Winkelsumme des ScHWARz'schen
reduzierten Kreisbogendreiecks <f Tt ist.
b Das hat GENOceni zuerst gemacht; vgl. die von Herrn BAUER herrührende
Darstellung auf S. 440 — 446 und die auf q = 1 und q = m — 1 bezüglichen Lite-
raturangaben auf S. 897 meines L?hn(7&MeAs (7er LeAre (7er Fer7e?'7%%<7 (7er
L*r7m^A7e^ [Leipzig und Berlin (Teubner), 1909].
Edmund Landau:
In meiner erwähnten Arbeithatte ich nur p = t, d. h.
(wegen q== 1) den elementar beweisbaren DiRiCHLETschen Satz
für die Progression m t 1 benutzt; ich hatte daher damals
geschlossen:
a<Ac(mod. m) oder b<hc(mod. m) oder beides.
In jener Arbeit gebrauchte ich dann die Tatsache, daß genau eine dieser
beiden Ungleichungen gilt, d. h. die andere nicht (so daß modulo
m entweder a<fc<fb oder b<fc<fa sein muß); um diese Tat-
sache zu beweisen, hatte ich auf die Theorie der hypergeometrischen
Reihe zurückgegritfen. Dies läßt sich auch vermeiden und durch
meine obigen Schlüsse in Verbindung mit dem (auch elementar^)
beweisbaren) Spezialfali q = m — 1 des DiRiCHLETschen Satzes
ersetzen; für q = m — 1 ist p = m — 1, also
(m — 1) a <P (m — 1) c (mod. m) oder (m — 1) b (m — 1) c (mod. m)
oder beides,
d. h.
— a — c (mod. m) oder — b <f — c (mod. m) oder beides,
d. h.
a c (mod. m) oder b c (mod. m) oder beides,
also c modulo m zwischen a und b gelegen, w^as zu beweisen w^ar.
Überhaupt schließe ich allgemein aus (22) so weiter: Wenn
mit q die Zahl m — q betrachtet wird, die ja auch zu m teilerfremd
ist, so geht p in m — p über. Es ist also nach (22)
(m — p) a <f (m — p) c (mod. m) oder (m — p) b <f (m — p) c (mod. m)
oder beides,
d. h.
— p a — p c (mod. m) oder — p b <f — p c (mod. m) oder beides,
folglich
(23) p a A> p c (mod. m) oder p b p c (mod. m) oder beides.
Aus (22) und (23) folgt
(24) p a p c p b (mod. m) oder pa]>pcb>pb (mod. m);
dies hat sich als notwendige Bedingung dafür ergeben, daß
') Deren Ziel war, auf Grund des EisENSTEix-HEiNE'schen Satzes den Trans-
zendenzbeweis in dem Fall zu führen, daß die Winkelsumme des ScHWARz'schen
reduzierten Kreisbogendreiecks <f Tt ist.
b Das hat GENOceni zuerst gemacht; vgl. die von Herrn BAUER herrührende
Darstellung auf S. 440 — 446 und die auf q = 1 und q = m — 1 bezüglichen Lite-
raturangaben auf S. 897 meines L?hn(7&MeAs (7er LeAre (7er Fer7e?'7%%<7 (7er
L*r7m^A7e^ [Leipzig und Berlin (Teubner), 1909].