Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Edmund Landau:

0<La<f*Yt, 0<fb<fm, 0<fc<hm
angenommen werden. Da ferner Symmetrie in bezug auf a und b
stattfiudet, darf a <fb, d. ln (mit Rücksicht auf das Erfülltsein von
(24) beip = l)
(25) 0<^a<hc<fb<5m
angenommen werden.
Ich bezeichne Systeme wie ja, b, c) durch geschweifte Klammern.
Zunächst ist es interessant, daß (24) nebst (25) mit ja, b. c} auch
für je — a, m — a, b — aj gütig bleibt. In der Tat folgt aus
(26) 0 < x <f y <f z <f m,
daß
0 <f y — x<fz — x m — x m
ist; diese Tatsache ist im Falle
pa<fpc<fpb (mod. m)
auf die kleinsten positiven Reste x, y, z von p a, p c, p b modulo m
anzuwenden und liefert
p (c — a) p (b — a) p (m — a) (mod. m);
im Falle
p a R> p c R> p b (mod. m)
ist sie auf die kleinsten positiven Reste x, y, z von — p a, — p c,
-— p b anzuwenden und liefert
— p (c — a) — p (b — a) <L — p (m — a) (mod. m),
d. h.
p (c — a) R> p (b — a) A> p (m — a) (mod. m).
Die Iteration dieses Übergangs von ja, b, cj zu je— a, m — a, b — aj
führt nach vier Schritten zum Anfang zurück, nämlich insgesamt
zu den vier Systemen^)
, . (a, b, cj, je — a, m — a, b — aj, jb — c, m — c -j- a, m — cj,
jm — b, m — b -}- c, m — b -j- aj.
Ferner ist mit ja, b, cj auch je— a, b, b — aj eine Lösung;
denn aus (26) folgt
0<Ly — x<fz — x<fz<fm.
Durch Iteration entstehen
(28) {a,b, cj, je — a, b, h — aj, {b — c, b, b — c-)-aj.
Andererseits ist mit ja, b, cj auch je — a, b, cj eine Lösung,
da aus (26)
0<y — x<y<z<m
Hier wie mehrfach in der Folge können natürlich für spezielle Werte
von a, b, c, m Systeme zusammenfallen.