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https://doi.org/10.11588/diglit.37071#0028
28
Edmund Landau:
Es hat (24), (25) für gerades m R> 00 keine weitere
m
Lösung mit den Nebenbedingungen a = 1, c = -^-als
die durch (37) gelieferten Lösungen
2)'
U'
] b 1
m m 2
transzendent.
AlsoistF( , -,-y-,x)fürgeradesmA>60,—--}-l<Lb<jn—1
nr
Beweis: Es sei m gerade und 1,0, — eine Lösung von (24), (25).
1 ^ i
Dann ist
und für (p, m) = 1, 1
y < b < m
m
V"
p <h uv P b (mod. m) oder p N> ^ P b (mod. m),
d. h., da p <L uy ist,
Wird
m
2
(mod. m)
b = ^ + k
gesetzt, so ist
pb = p^--(-pk = ^Wpk (mod. m),
k p <L (mod. m).
Das Zalilenpaar k, ni erfülit also genau die im § 1 gemachten
Voraussetzungen: aus (6) folgt (5). Für gerades m R> 60 kann
also nur k = 1 oder k = ^ — 1 sein, was auf die schon oben
hervorgehobenen, für alle geraden m (V 4 gütigen (bei m = 4
zusammenfallenden) Systeme Vf-ui ! und jl; ui " ^ uy!
} ' L 2 j ) - j
führt.
kWr die geraden m von 4 bis 60 gibt es nach den Resultaten
des § 1 neben diesen Systemen nur noch die folgenden :
Edmund Landau:
Es hat (24), (25) für gerades m R> 00 keine weitere
m
Lösung mit den Nebenbedingungen a = 1, c = -^-als
die durch (37) gelieferten Lösungen
2)'
U'
] b 1
m m 2
transzendent.
AlsoistF( , -,-y-,x)fürgeradesmA>60,—--}-l<Lb<jn—1
nr
Beweis: Es sei m gerade und 1,0, — eine Lösung von (24), (25).
1 ^ i
Dann ist
und für (p, m) = 1, 1
y < b < m
m
V"
p <h uv P b (mod. m) oder p N> ^ P b (mod. m),
d. h., da p <L uy ist,
Wird
m
2
(mod. m)
b = ^ + k
gesetzt, so ist
pb = p^--(-pk = ^Wpk (mod. m),
k p <L (mod. m).
Das Zalilenpaar k, ni erfülit also genau die im § 1 gemachten
Voraussetzungen: aus (6) folgt (5). Für gerades m R> 60 kann
also nur k = 1 oder k = ^ — 1 sein, was auf die schon oben
hervorgehobenen, für alle geraden m (V 4 gütigen (bei m = 4
zusammenfallenden) Systeme Vf-ui ! und jl; ui " ^ uy!
} ' L 2 j ) - j
führt.
kWr die geraden m von 4 bis 60 gibt es nach den Resultaten
des § 1 neben diesen Systemen nur noch die folgenden :