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https://doi.org/10.11588/diglit.37071#0029
Über einen zahlentheorelischen Satz etc.
29
m—12, a = l, b= 9,
m = 20, a = 1, b = 13,
m = 20, a = 1, b = 17,
m = 24, a=l, b = 17,
m = 24, a = l, b=19,
m =- 60, a = 1, b = 41,
m = 60, a = 1, b = 49,
c = 6
c=10
c = 10
c=12
c=12
c = 30
c = 30.
Daß F (a, ß, y, x) für jene zwei Klassen und in diesen end-
lich vielen Fällen wirklich algebraisch ist, ergibt sich natürlich
nicht aus dem Vorangehenden, ist aber direkt feststellbar; vgl.
den § 5, wo (24) in allen durch die berühmte ScHWARz'sche
Tabelle gelieferten Fällen verifiziert wird. Das Wesentliche war,
daß ich durch meinen Satz aus § 1 in Verbindung mit dem
EISENSTEIN-HEINE'sehen Satz in allen unendlich vielen übrigen
Fällen den Transzendenzbeweis von F x'l, wo m
\^m m 2 y
gerade und ^ b in ist, führen konnte. *^) Es ist sehr inter-
essant, daß hier die Anwendung des EiSENSTEiN-HEiNE'schen Kri-
teriums alle algebraischen Fälle liefert, daß also die notwendige
Bedingung hier eine hinreichende ist. Das Hauptziel dieser Arbeit
ist: 1. diesen Teil der ScHWARz'schen Ergebnisse rein arithmetisch
zu beweisen (was hiermit geschehen ist); 2. den an sich interes-
santen Satz des § 1 zu beweisen; 3. die am Schluß des § 5 aus-
gesprochene offene Frage zu formulieren und in ihrer Stellung zur
Theorie der hypergeometrischen Reihe darzulegen.
§ 5.
Ich will nun verifizieren, daß (24) in allen der Bedingung
(25) genügenden Fällen erfüllt ist, in denen auf Grund der
ScHWARz'schen Resultate F (a, ß, y, x) algebraisch ist. Das kann
natürlich nicht anders sein, da ja (24) eine notwendige Bedingung
V TYAc?* w ?.ce7cAc^ GAUSsiseAe AYrAc
(A/M aüyc&ruTscAe 7A;*gg vieren E7g/Mgn7eg [.Journal iür die
reine und angewandte Mathematik, Bd. LXXY (1873), S. 292—335; Gesammelte
Mathematische Abhandlungen, BJ. 11 (1890), 8. 211—259], S. 323 bzw. S. 246.
^) Nach dem Vorangehenden ist damit natürlich auch der Transzen-
denzbeweis lür alle F (a, ß, y, x) geliefert, wo a, ß, y sich von obigen Werten
um ganze Zahlen unterscheiden.
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m—12, a = l, b= 9,
m = 20, a = 1, b = 13,
m = 20, a = 1, b = 17,
m = 24, a=l, b = 17,
m = 24, a = l, b=19,
m =- 60, a = 1, b = 41,
m = 60, a = 1, b = 49,
c = 6
c=10
c = 10
c=12
c=12
c = 30
c = 30.
Daß F (a, ß, y, x) für jene zwei Klassen und in diesen end-
lich vielen Fällen wirklich algebraisch ist, ergibt sich natürlich
nicht aus dem Vorangehenden, ist aber direkt feststellbar; vgl.
den § 5, wo (24) in allen durch die berühmte ScHWARz'sche
Tabelle gelieferten Fällen verifiziert wird. Das Wesentliche war,
daß ich durch meinen Satz aus § 1 in Verbindung mit dem
EISENSTEIN-HEINE'sehen Satz in allen unendlich vielen übrigen
Fällen den Transzendenzbeweis von F x'l, wo m
\^m m 2 y
gerade und ^ b in ist, führen konnte. *^) Es ist sehr inter-
essant, daß hier die Anwendung des EiSENSTEiN-HEiNE'schen Kri-
teriums alle algebraischen Fälle liefert, daß also die notwendige
Bedingung hier eine hinreichende ist. Das Hauptziel dieser Arbeit
ist: 1. diesen Teil der ScHWARz'schen Ergebnisse rein arithmetisch
zu beweisen (was hiermit geschehen ist); 2. den an sich interes-
santen Satz des § 1 zu beweisen; 3. die am Schluß des § 5 aus-
gesprochene offene Frage zu formulieren und in ihrer Stellung zur
Theorie der hypergeometrischen Reihe darzulegen.
§ 5.
Ich will nun verifizieren, daß (24) in allen der Bedingung
(25) genügenden Fällen erfüllt ist, in denen auf Grund der
ScHWARz'schen Resultate F (a, ß, y, x) algebraisch ist. Das kann
natürlich nicht anders sein, da ja (24) eine notwendige Bedingung
V TYAc?* w ?.ce7cAc^ GAUSsiseAe AYrAc
(A/M aüyc&ruTscAe 7A;*gg vieren E7g/Mgn7eg [.Journal iür die
reine und angewandte Mathematik, Bd. LXXY (1873), S. 292—335; Gesammelte
Mathematische Abhandlungen, BJ. 11 (1890), 8. 211—259], S. 323 bzw. S. 246.
^) Nach dem Vorangehenden ist damit natürlich auch der Transzen-
denzbeweis lür alle F (a, ß, y, x) geliefert, wo a, ß, y sich von obigen Werten
um ganze Zahlen unterscheiden.