DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.37071#0034
34
Edmund Landau:
lieh der merkwürdige Umstand ein, daß die <p (m) bei jeder ein-
zelnen Verifikation aufzustellenden Hilfssysteme ^) selbst schon in
der Tabelle Vorkommen. Deutlicher gesagt: Es ist für jede der
cp (m) Zahlen p, die den Relationen
(p, m) = P 1 P < m
genügen, zu verifizieren, daß
pa<fpc<fpb (mod. m) oder paj>pcJ>pb (mod. m)
ist; d. h. wenn die kleinsten positiven Reste von p a, p b, p c
(modulo m) mit a', b\ bzw. b', aj c' bezeichnet werden, je nach-
dem pa<fpb (mod. m) oder paj>pb (mod. m) ist, so ist zu
verifizieren, daß jedesmal
a' <f c' b'
ist. Und nun trifft es sich zufällig, daß {a', b^, c') jedesmal ein System
der Tabelle ist, und zwar zu demselben m (aber nicht stets zu
derselben römischen Nummer) gehört. Je cp (m) bzw. weniger der
Systeme meiner Tabelle sind also zusammengehörig; jedes erzeugt
offenbar^) durch Multiplikation mit den p denselben Komplex. Ich
habe also nur nötig, die Systeme meiner Tabelle übersichtlich in
Komplexe zusammengehöriger zu ordnen, um nicht nur alle auf-
gezählt, sondern zugleich auch für jedes die Verifikation des Kri-
teriums (24) ausgeführt zu haben. Dabei entsteht eine neue Grup-
pierung der ScnwARz'schen Resultate, bei der allerdings nur zwi-
schen solchen verschiedenen Nummern seiner Tabelle manchmal
ein Zusammenhang hergestellt wird, welche demselben regulären
Polyeder entsprechen, wie z. B. bei m = 30 die Systeme {19, 25, 20}
und {5, 17, 10} demselben Komplex angehören, aber den verschie-
denen Fällen VIII und XV der ScHWARz'schen Tabelle entsprechen.
Es werden sich, von den oben erledigten zu Nr. I gehörigen
abgesehen, die sämtlichen Systeme, bei denen ich bisher nur die
Anzahl genannt habe, gruppieren
bei m = 6 in 2 Komplexe von je 2 [zusammen 4],
bei m = 10 in 2 Komplexe von je 4 [zusammen 8],
bei m =^12 in 4 Komplexe von je 2 und 4 Komplexe von je 4
[zusammen 24],
*0 Wenn auch nach dem Früheren die Verifikation für die erste Hälfte
jener p genügt, so ist es mir doch jetzt bequem, sie aile in Betracht zu ziehen.
2°) Denn wenn p„ ein festes zu m teiierfremdes p zwischen 0 und m ist,
so ist die Gesamtheit der Systeme {p„ p a, p„ p b, p„ p c} offenbar mit der Gesamtheit
der Systeme {p a, p b, p c} moduio m identisch.
Edmund Landau:
lieh der merkwürdige Umstand ein, daß die <p (m) bei jeder ein-
zelnen Verifikation aufzustellenden Hilfssysteme ^) selbst schon in
der Tabelle Vorkommen. Deutlicher gesagt: Es ist für jede der
cp (m) Zahlen p, die den Relationen
(p, m) = P 1 P < m
genügen, zu verifizieren, daß
pa<fpc<fpb (mod. m) oder paj>pcJ>pb (mod. m)
ist; d. h. wenn die kleinsten positiven Reste von p a, p b, p c
(modulo m) mit a', b\ bzw. b', aj c' bezeichnet werden, je nach-
dem pa<fpb (mod. m) oder paj>pb (mod. m) ist, so ist zu
verifizieren, daß jedesmal
a' <f c' b'
ist. Und nun trifft es sich zufällig, daß {a', b^, c') jedesmal ein System
der Tabelle ist, und zwar zu demselben m (aber nicht stets zu
derselben römischen Nummer) gehört. Je cp (m) bzw. weniger der
Systeme meiner Tabelle sind also zusammengehörig; jedes erzeugt
offenbar^) durch Multiplikation mit den p denselben Komplex. Ich
habe also nur nötig, die Systeme meiner Tabelle übersichtlich in
Komplexe zusammengehöriger zu ordnen, um nicht nur alle auf-
gezählt, sondern zugleich auch für jedes die Verifikation des Kri-
teriums (24) ausgeführt zu haben. Dabei entsteht eine neue Grup-
pierung der ScnwARz'schen Resultate, bei der allerdings nur zwi-
schen solchen verschiedenen Nummern seiner Tabelle manchmal
ein Zusammenhang hergestellt wird, welche demselben regulären
Polyeder entsprechen, wie z. B. bei m = 30 die Systeme {19, 25, 20}
und {5, 17, 10} demselben Komplex angehören, aber den verschie-
denen Fällen VIII und XV der ScHWARz'schen Tabelle entsprechen.
Es werden sich, von den oben erledigten zu Nr. I gehörigen
abgesehen, die sämtlichen Systeme, bei denen ich bisher nur die
Anzahl genannt habe, gruppieren
bei m = 6 in 2 Komplexe von je 2 [zusammen 4],
bei m = 10 in 2 Komplexe von je 4 [zusammen 8],
bei m =^12 in 4 Komplexe von je 2 und 4 Komplexe von je 4
[zusammen 24],
*0 Wenn auch nach dem Früheren die Verifikation für die erste Hälfte
jener p genügt, so ist es mir doch jetzt bequem, sie aile in Betracht zu ziehen.
2°) Denn wenn p„ ein festes zu m teiierfremdes p zwischen 0 und m ist,
so ist die Gesamtheit der Systeme {p„ p a, p„ p b, p„ p c} offenbar mit der Gesamtheit
der Systeme {p a, p b, p c} moduio m identisch.