Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zur Integration der Differentialgleichungen.

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zur Bestimmung von K die partielle Differentialgleichung
<^f(p, P)

(13) P^- + f(p,P)^

3P

K

liefert. Wird daher das allgemeine Integral der totalen Differential-
gleichung
dP _ f(p, P)
dp P
in der Form
\ (p, P) = c oder p = p (P, c)
dargestellt, so wird sich mittels des Wertes von K nach (11) 11
in der Form ergeben
'df'
IP

(13)


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p = g (P, C)

R (\ (p, P)) d P d P
c ^ Mp, P)

+ k (p) P + kl (p),
worin R eine willkürliche Funktion bedeutet, und x(p), Ki (p) durch
Einsetzen des Wertes von H in die Gleichung (10) zu bestimmen sind.
So liefert die partielle Differentialgleichung
P
P '

(14) V
/ Ja.

Pa ß

wenn die willkürliche Funktion R
1

1 gesetzt wird,
K = -p- , also H = P log P — P + k (p) P + ki (p)
und durch Substitution in (10), wenn k(p) —0 angenommen wird,
(15) H —PlogP— P-}-logp.

Für diesen Wert des kinetischen Potentials geht nun das durch das
Energieprinzip dargestellte Zwischenintegral von (14) in
(16) P — log p = UJ (Xi — Xn, Xa-Xn, . . . Xn-l — Xn)
über, deren allgemeines Integral, wie unmittelbar zu sehen, wenn
f r ^ ^ (lh ^)
J log p + a
gesetzt ward, durch
(17) r (p, UJ (Xi — Xu, . . . Xu-l — Xn)
= Xn + UCi (Xi — Xn, . . . Xn-1 — Xn)
dargestellt wird, wenn uu und nti willkürliche Funktionen bedeuten.