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https://doi.org/10.11588/diglit.37300#0011
Zur Integration der Differentialgleichungen.
11
Solcher dem Flächenintegrale analoger partieller Differential-
gleichungen erster Ordnung, welche Zwischenintegrale des L,A-
GRANGE'schen Differentialgleichungsystems bilden, erhalten wir noch
andere bei analoger Zusammensetzung des kinetischen Potentials
aus den anderen p und P, oder durch Summierung von Ausdrücken,
welche der linken Seite von (32) analog sind.
Hat für zwei abhängige und n unabhängige Variable das kine-
tische Potential die Form
H (pf) + p(Sf, P^ -j- p(2? p(D p(l) + p(2) p(2))'
so werden das Energieprinzip und das Flächenintegral für die beiden
LAGRANGE'schen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung
die beiden Zwischenintcgrale erster Ordnung mit zwei willkürlichen
Funktionen liefern, und somit nach den obigen Auseinandersetzungen
die weitere Integration gestatten.
So werden sich die oben behandelten partiellen Differential-
gleichungen (28) mit Hilfe des kinetischen Potentials
(33) H = P^ + P(^ + pd) p(2) — p(2) pw
in die LAGRANGE'sche Form setzen lassen, und daher die beiden
Zwischenintegrale erster Ordnung durch das Energieprinzip
(34) PW-j-P^^uj^—xj
und das Flächenprinzip
(35) p(') (2 p(2) -j- p(l)) — p(2) (g p(l)-p(2)) = y (Xi — Xg)
dargestellt sein. Man sieht unmittelbar, dah diese beiden Zwischen-
integrale sich aus den oben gefundenen Integralen (a) des zur Be-
stimmung von <Pi und qpg aufgestellten totalen Dilferentialgleichung-
systems in der Form ausdrücken lassen
(p(2) ^ p(l)y (-p(l)^ _p(l)^ _ g p(I) p(2)^ ^ p(l)2 p(2?
und
(p(D _ p(2)y _ (pw - pW — g p(ü p(b) = p(b(g p(2) + p(D)
— p(2) ^g p(Ü — p(^)).
Endlich kann analog dem früher von mir in der Mechanik
einer unabhängigen Variabein für kinetische Potentiale beliebiger
Ordnung erweiterten Schwerpunktprinzip ein entsprechendes Theorem
für partielle Differentialgleichungen aufgestellt werden, das hier für
den vorher betrachteten Fall eines kinetischen Potentials erster
Ordnung von 2 abhängigen Variabein p und q und n unabhängigen
Variabein x^, Xg, . . . x,i entwickelt werden soll.
11
Solcher dem Flächenintegrale analoger partieller Differential-
gleichungen erster Ordnung, welche Zwischenintegrale des L,A-
GRANGE'schen Differentialgleichungsystems bilden, erhalten wir noch
andere bei analoger Zusammensetzung des kinetischen Potentials
aus den anderen p und P, oder durch Summierung von Ausdrücken,
welche der linken Seite von (32) analog sind.
Hat für zwei abhängige und n unabhängige Variable das kine-
tische Potential die Form
H (pf) + p(Sf, P^ -j- p(2? p(D p(l) + p(2) p(2))'
so werden das Energieprinzip und das Flächenintegral für die beiden
LAGRANGE'schen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung
die beiden Zwischenintcgrale erster Ordnung mit zwei willkürlichen
Funktionen liefern, und somit nach den obigen Auseinandersetzungen
die weitere Integration gestatten.
So werden sich die oben behandelten partiellen Differential-
gleichungen (28) mit Hilfe des kinetischen Potentials
(33) H = P^ + P(^ + pd) p(2) — p(2) pw
in die LAGRANGE'sche Form setzen lassen, und daher die beiden
Zwischenintegrale erster Ordnung durch das Energieprinzip
(34) PW-j-P^^uj^—xj
und das Flächenprinzip
(35) p(') (2 p(2) -j- p(l)) — p(2) (g p(l)-p(2)) = y (Xi — Xg)
dargestellt sein. Man sieht unmittelbar, dah diese beiden Zwischen-
integrale sich aus den oben gefundenen Integralen (a) des zur Be-
stimmung von <Pi und qpg aufgestellten totalen Dilferentialgleichung-
systems in der Form ausdrücken lassen
(p(2) ^ p(l)y (-p(l)^ _p(l)^ _ g p(I) p(2)^ ^ p(l)2 p(2?
und
(p(D _ p(2)y _ (pw - pW — g p(ü p(b) = p(b(g p(2) + p(D)
— p(2) ^g p(Ü — p(^)).
Endlich kann analog dem früher von mir in der Mechanik
einer unabhängigen Variabein für kinetische Potentiale beliebiger
Ordnung erweiterten Schwerpunktprinzip ein entsprechendes Theorem
für partielle Differentialgleichungen aufgestellt werden, das hier für
den vorher betrachteten Fall eines kinetischen Potentials erster
Ordnung von 2 abhängigen Variabein p und q und n unabhängigen
Variabein x^, Xg, . . . x,i entwickelt werden soll.