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https://doi.org/10.11588/diglit.37300#0012
12
L. Koenigsberger:
Seien zwei LAGRANGE'sche partielle Differentialgleichungen von
der Form gegeben
bH—d 3H^ ^ 3H_sri = ^
3p Z-JctdXaDpa Z-JctdXabq^
worin M und N Funktionen von Xi, . . . Xu, p, q sind, habe ferner,
wenn
s = P + LU (Xi, X2, . . Xn, p — q), q = LUi (Xi, X2, . . Xn, p " q)
gesetzt wird, und uu, uj^ beliebige Funktionen bedeuten, das kinetische
Potential in der oben benutzten Bezeichnungsweise die Gestalt
H = Hi(Xi, ..Xn, Si,..2n)-pH2(Xi, ..Xn, q, 1^, ...lln),
so werden, wie leicht zu sehen, die LAGRANGE'schen Gleichungen in
dm \(3Hi <d 3H, 1 . 3H, dm,
d x^ ^
d(p — q)y!32
3^,i ' 3q d(p
q)
= M
d tu
13 Hi
d (p - q) )
d 3 Hi
"dxa3^
3Hg doq
3q d(p —q)
= N
übergehen, aus denen durch Addition die Beziehung
folgt
3 Hi
3 2
E
d
RdXr
3 Hi
327
= M + N,
welche das erweiterte Schwerpunktprinzip darstellt.
Die der Mechanik wägbarer Massen entsprechende Annahme,
daß das kinetische Potential die Form hat
II = a (X^ p^)^ + b (X^ q^)' + F (xi,... Xn, p —q, Pi — qi,. . Pn"q7,
ergibt, wie leicht zu sehen, für
s = Up + bO
den Ausdruck
H, = (a + b) IZ.
so daß die LAGRANGE'sche Gleichung in 2 in
— ^ (a -{- b) {X^ 2,xct + - ^a, ß ß} = M -j- N
übergeht, welche dem einfachsten Falle des gewöhnlichen Schwer-
punktprinzips entspricht.
Erweitern wir nun diese Betrachtungen auf kinetische Potentiale
zweiter Ordnung, und zwar zunächst von einer abhängigen und zwei
unabhängigen Variabein, und definieren als LAGRANGE'sche partielle
Differentialgleichung die Gleichung vierter Ordnung
Ü VgL § 11 meitier Schrift cü?/' ltlOO.
L. Koenigsberger:
Seien zwei LAGRANGE'sche partielle Differentialgleichungen von
der Form gegeben
bH—d 3H^ ^ 3H_sri = ^
3p Z-JctdXaDpa Z-JctdXabq^
worin M und N Funktionen von Xi, . . . Xu, p, q sind, habe ferner,
wenn
s = P + LU (Xi, X2, . . Xn, p — q), q = LUi (Xi, X2, . . Xn, p " q)
gesetzt wird, und uu, uj^ beliebige Funktionen bedeuten, das kinetische
Potential in der oben benutzten Bezeichnungsweise die Gestalt
H = Hi(Xi, ..Xn, Si,..2n)-pH2(Xi, ..Xn, q, 1^, ...lln),
so werden, wie leicht zu sehen, die LAGRANGE'schen Gleichungen in
dm \(3Hi <d 3H, 1 . 3H, dm,
d x^ ^
d(p — q)y!32
3^,i ' 3q d(p
q)
= M
d tu
13 Hi
d (p - q) )
d 3 Hi
"dxa3^
3Hg doq
3q d(p —q)
= N
übergehen, aus denen durch Addition die Beziehung
folgt
3 Hi
3 2
E
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RdXr
3 Hi
327
= M + N,
welche das erweiterte Schwerpunktprinzip darstellt.
Die der Mechanik wägbarer Massen entsprechende Annahme,
daß das kinetische Potential die Form hat
II = a (X^ p^)^ + b (X^ q^)' + F (xi,... Xn, p —q, Pi — qi,. . Pn"q7,
ergibt, wie leicht zu sehen, für
s = Up + bO
den Ausdruck
H, = (a + b) IZ.
so daß die LAGRANGE'sche Gleichung in 2 in
— ^ (a -{- b) {X^ 2,xct + - ^a, ß ß} = M -j- N
übergeht, welche dem einfachsten Falle des gewöhnlichen Schwer-
punktprinzips entspricht.
Erweitern wir nun diese Betrachtungen auf kinetische Potentiale
zweiter Ordnung, und zwar zunächst von einer abhängigen und zwei
unabhängigen Variabein, und definieren als LAGRANGE'sche partielle
Differentialgleichung die Gleichung vierter Ordnung
Ü VgL § 11 meitier Schrift cü?/' ltlOO.