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https://doi.org/10.11588/diglit.37322#0012
12(A. 18)
LeoKoenigsberger:
welches der oben aufgestellten Bedingung genügt, so werden die
beiden LAGRANGE'schen Gleichungen unter der Voraussetzung, daß
ein partikuläres Integralsystem existiert, für welches p konstant ist,
als Differentialgleichungen für das unvollständige Problem lauten
b cp
b p
q" +
bJF
b p
0
b cp
bq
bF
bq
-j-2cpq" = Q,
wobei jedoch die Funktionen f, cp, F im kinetischen Potential nicht
beliebig gewählt werden dürfen, sondern so, daß ein Partikular-
system von Integralen mit konstantem p existiert. Um die Be-
dingung hierfür zu linden, stelle man mit den beiden letzten
Gleichungen unter der Voraussetzung eines konstanten p = c, also
p' = p" = 0 den nach t genommenen Differentialquotienten der
ersten derselben
2
b cp
b p
q' q" +
,3 , a'F
bpbq* bpbq
q' = 0
zusammen, so daß sich unter der Annahme, daß das partikulare
Integralsystem nicht durch p — c, q = c^ gegeben sein soll, durch
Elimination von q^ und q" zwischen diesen drei Gleichungen die
nur von p = c, q und Q abhängige Bedingungsgleichung ergibt
bFU b^cp bep bcpA bcpU b^F , bcp/bF
bpy^bpbq bp bqy bpy^bpbq bp\bq
welche, wenn dem konstanten Werte von p für den Parameter q
nicht ein konstanter Wert oder eine lediglich durch die äußere Kraft Q
ohne Integrationskonstanten fest bestimmte Funktion von t ent-
sprechen soli, für Q die Annahme eines konstanten Wertes erfordert
und daher eine in p und q identische sein muß. Setzt man nun
den aus der ersten der beiden obigen Gleichungen sich ergebenden
AVer! von p als Funktion von q und q' in die zweite Gleichung
ein, so wird sich für die Variable q die LAGRANGE'sche Gleichung
ergeben
_bjp d b.<r, _
bq dt bq'
worin das kinetische Potential erster Ordnung durch den Ausdruck
gegeben ist
^ = (<p(p, q)) q" + (F (p, q))-
LeoKoenigsberger:
welches der oben aufgestellten Bedingung genügt, so werden die
beiden LAGRANGE'schen Gleichungen unter der Voraussetzung, daß
ein partikuläres Integralsystem existiert, für welches p konstant ist,
als Differentialgleichungen für das unvollständige Problem lauten
b cp
b p
q" +
bJF
b p
0
b cp
bq
bF
bq
-j-2cpq" = Q,
wobei jedoch die Funktionen f, cp, F im kinetischen Potential nicht
beliebig gewählt werden dürfen, sondern so, daß ein Partikular-
system von Integralen mit konstantem p existiert. Um die Be-
dingung hierfür zu linden, stelle man mit den beiden letzten
Gleichungen unter der Voraussetzung eines konstanten p = c, also
p' = p" = 0 den nach t genommenen Differentialquotienten der
ersten derselben
2
b cp
b p
q' q" +
,3 , a'F
bpbq* bpbq
q' = 0
zusammen, so daß sich unter der Annahme, daß das partikulare
Integralsystem nicht durch p — c, q = c^ gegeben sein soll, durch
Elimination von q^ und q" zwischen diesen drei Gleichungen die
nur von p = c, q und Q abhängige Bedingungsgleichung ergibt
bFU b^cp bep bcpA bcpU b^F , bcp/bF
bpy^bpbq bp bqy bpy^bpbq bp\bq
welche, wenn dem konstanten Werte von p für den Parameter q
nicht ein konstanter Wert oder eine lediglich durch die äußere Kraft Q
ohne Integrationskonstanten fest bestimmte Funktion von t ent-
sprechen soli, für Q die Annahme eines konstanten Wertes erfordert
und daher eine in p und q identische sein muß. Setzt man nun
den aus der ersten der beiden obigen Gleichungen sich ergebenden
AVer! von p als Funktion von q und q' in die zweite Gleichung
ein, so wird sich für die Variable q die LAGRANGE'sche Gleichung
ergeben
_bjp d b.<r, _
bq dt bq'
worin das kinetische Potential erster Ordnung durch den Ausdruck
gegeben ist
^ = (<p(p, q)) q" + (F (p, q))-