Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Unendlichkeits- und Nullpunkte einer algebraischen Funktion. (A. 24) 5

Um zu erkennen, was diese p Gleichungen für die Punkte
bedeuten, definiere man q lineare Formen von p Veränderlichen
x^, x^,.., Xp durch die Gleichungen
(7) + (k —l,2,..,p)
Aus (6) folgt dann
(8) = °
die Gleichungen (6) sagen also aus, daß die q linearen Formen
f^,f^, ..,f^ linearabhängjg sind, und man hat den Satz:
Sind sq,S;,,..,s^ die q oo^-Punkte einer Funktion
der Klasse, so sind die q zugehörigen linearen
Formen (7) stets linear ab hängig.
3.
Umkehrung des Riemann-Rochschen Satzes.
Es seien umgekehrt irgend q Punkte der RiEMANN-
schen Fläche gegeben und man stelle die Frage, ob es eine Funk-
tion v der Klasse gibt, welche in diesen Punkten und sonst
nirgends cc^ wird.
Aus dem Vorigen ergibt sich sofort als eine notwendige Be-
dingung für die Existenz einer solchen Funktion T, daß die
q Formen f^_ linearabhängig sind. Weil also unter den q Formen
f^f^, ..,f^ sich notwendig linearabhängige befinden müssen,
nennt CHRISTOFFEL diese notwendige Formen und die ihnen
zugehörigen Punkte notwendige Punkte, und man hat
den Satz:
Eine Funktion der Klasse, unter deren Un-
endlichkeitspunkten sich kein notwendiger be-
findet, gibt es nicht.
Setzt man daher voraus, daß die q Formen f^ linearab-
hängig sind und bezeichnet den Rang des Formensystems
f^f^, ..,f^ mit r, so ist r<q und es können auf mehrfache Weise
aus den q Formen f^r, f^,f^, ..,f^, ausgewählt werden, die selbst
linearunabhängig sind und durch welche sich die s = q —r übri-
gen fy_i_j,fp_^2'--)^q linear darstellen lassen in der Form