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https://doi.org/10.11588/diglit.37383#0007
Unendlichkeits- und Nullpunkte einer algebraischen Funktion. (A. 24) 7
stimmt. Man kann daher den Überschuß des Punktsystems
sq,sp,..,s^_ auch als die Anzahl der willkürlich wählbaren Null-
punkte von T definieren.
4.
Fremde Punkte.
Es kann Vorkommen, daß in den sämtlichen s Darstellungen
(9) der überzähligen Formen f^<_ gewisse der linearunabhängigen
Formen f gar nicht auftreten. Kommt aber f in keiner der
P . P .
Gleichungen (9) vor, ist alsoYjp='Yip=^"=Ysp = 0, so ist auch
Cp=^0 und es wird folglich die Funktion T im Punkte nicht
unendlich. Solche Punkte scheiden also aus den Unendlich-
keitspunkten von T aus, indem keine der Funktionen T in ihnen
unendlich werden kann. CHRISTOFFEL nennt diese Punkte fremde,
und man hat den Satz:
Eine Funktion der Klasse, die in einem frem-
den Punkte unendlich wird, gibt es nicht.
Damit also eine Funktion T der Kiasse existiere, weiche in
q gegebenen Punkten sq,s„,..,s^ und sonst irgendwo cü werde,
genügt es nicht, daß unter den Punkten s notwendige Vor-
kommen, sondern es dürfen weiter unter ihnen keine fremden sein.
Man hat sohin folgendes Endresultat :
Liegt die Aufgabe vor, eine Funktion v der Kiasse zu bilden,
welche in q gegebenen Punkten s^,s,,..,s^und sonst nirgendwo oü
wird, so bilde man die q linearen Formen (7), bestimme den
Rang r = q—s dieses Formensystems, wähle r linearunabhängige
Formen f^,f^, ,.,f^, unter ihnen aus und stelle die s übrigen,
i'r+i' ' mittels der Gleichungen (9) durch sie dar. Kommen
in den s Gleichungen (9) r der Formen ü,ü,..,fpgar nicht vor,
so sind die diesen Formen entsprechenden ,/fremden" Punkte s
auszuscheiden. Statt einer Funktion q^^ Ordnung erhält man
nur eine solche von der Ordnung q' = q— r', die in den q übrig-
bleibenden Punkten s oü wird; für die s ,,notwendigen" Punkte
R.+i' ^ kann man die. Gewichte c^, c^,.., c^ willkürlich
wählen, für die von den r Punkten nach Ausscheidung
der fremden Punkte übrigbleibendenr — r',,wesentlichen" Punkte
sind sie dann durch die Gleichungen
(12)
bestimmt.
stimmt. Man kann daher den Überschuß des Punktsystems
sq,sp,..,s^_ auch als die Anzahl der willkürlich wählbaren Null-
punkte von T definieren.
4.
Fremde Punkte.
Es kann Vorkommen, daß in den sämtlichen s Darstellungen
(9) der überzähligen Formen f^<_ gewisse der linearunabhängigen
Formen f gar nicht auftreten. Kommt aber f in keiner der
P . P .
Gleichungen (9) vor, ist alsoYjp='Yip=^"=Ysp = 0, so ist auch
Cp=^0 und es wird folglich die Funktion T im Punkte nicht
unendlich. Solche Punkte scheiden also aus den Unendlich-
keitspunkten von T aus, indem keine der Funktionen T in ihnen
unendlich werden kann. CHRISTOFFEL nennt diese Punkte fremde,
und man hat den Satz:
Eine Funktion der Klasse, die in einem frem-
den Punkte unendlich wird, gibt es nicht.
Damit also eine Funktion T der Kiasse existiere, weiche in
q gegebenen Punkten sq,s„,..,s^ und sonst irgendwo cü werde,
genügt es nicht, daß unter den Punkten s notwendige Vor-
kommen, sondern es dürfen weiter unter ihnen keine fremden sein.
Man hat sohin folgendes Endresultat :
Liegt die Aufgabe vor, eine Funktion v der Kiasse zu bilden,
welche in q gegebenen Punkten s^,s,,..,s^und sonst nirgendwo oü
wird, so bilde man die q linearen Formen (7), bestimme den
Rang r = q—s dieses Formensystems, wähle r linearunabhängige
Formen f^,f^, ,.,f^, unter ihnen aus und stelle die s übrigen,
i'r+i' ' mittels der Gleichungen (9) durch sie dar. Kommen
in den s Gleichungen (9) r der Formen ü,ü,..,fpgar nicht vor,
so sind die diesen Formen entsprechenden ,/fremden" Punkte s
auszuscheiden. Statt einer Funktion q^^ Ordnung erhält man
nur eine solche von der Ordnung q' = q— r', die in den q übrig-
bleibenden Punkten s oü wird; für die s ,,notwendigen" Punkte
R.+i' ^ kann man die. Gewichte c^, c^,.., c^ willkürlich
wählen, für die von den r Punkten nach Ausscheidung
der fremden Punkte übrigbleibendenr — r',,wesentlichen" Punkte
sind sie dann durch die Gleichungen
(12)
bestimmt.