Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Es unterliegt keinem Zweifel, daß den positiven Aussagen in
der Mathematik größere Wichtigkeit zukommt, als den negativen.
Wenn die letztem auch häutig ein unentbehrliches Hilfsmittel sind,
so fördern doch nur die erstem den Aufbau der Disziplinen. Es
scheint mir deshalb auch die FERMAT'sclie Behauptung von der Un-
möglichkeit der Auflösbarkeit der Gleichung
U + ^ + U -
in ganzen rationalen, von 0 verschiedenen Zahlen weniger interessant
zu sein, als die Beantwortung der positiven Frage: Wie muß ein
algebraischer Körper A: beschaffen sein, damit in ihm die
FERMAT'sclie Gleichung in drei von 0 verschiedenen Zahlen
lösbar ist? Diese Problemstellung hat einen Sinn, da es sicher
sehr viele % gibt, für die obige Gleichung nicht in ganzen rationalen,
von 0 verschiedenen Zahlen 7], ^ lösbar ist, und da es ander-
seits Körper % gibt, in denen sie lösbar ist; z. B. A'=A'(\/-2),
in dem
D + P + ({/-= 0
ist. Kann für A; irgend eine Eigenschaft gefunden werden, die für
den Körper der rationalen Zahlen nicht erfüllt ist, so ist zugleich
die FERMAT'sche Behauptung erwiesen.
Im folgenden behandle ich einen speziellen Fall obiger Frage-
stellung: Wann ist die Gleichung
f ^ = 0
in Zahlen eines quadratisch imaginären Körpers A;(yw),
wo = 2 (mod. 3) ist, lösbar? Dabei soll unter lösbar von
nun an stets verstanden werden: in drei von 0 verschiedenen Zahlen.
Die Antwort ist sehr elegant: Damit die diophantische
Gleichung ^ + 7]3 + {p = 0 in A; lösbar ist, muß die Klassen-
zahl von % durch 3 teilbar sein. Noch überraschender ist,
daß, falls diese Bedingung erfüllt ist, auch Beispiele von Lösungen