Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

4(A. 25)

Rudolf Fueter:

gefunden werden können,
gleich 3, und es ist
/9 + V^il
\ 2

Z. B. ist die Klassenzahl von 7' (\/-31)

= ^ ^9-V-siy

+33=0.

Ob die Bedingung hinreichend ist, kann ich zurzeit nicht
aussagen. Eine Lösung kann stets gefunden werden, wenn in
einem der kubischen Klassenkörper von % eine Zahl existiert, deren
Relativnorm in bezug auf % eins, und deren Relativspur in bezug
auf 7* null ist. Außerdem kann ich ein Verfahren angeben, durch
das aus jenen Lösungen, wie sie die Tabellen am Schluß angeben,
unendlich viele neue Lösungen erhalten werden, so daß unsere
Gieichung also immer keine oder unendlich viele solcher Lösungen
besitzt. Dabei heißen Lösungen voneinander verschieden, wenn
sie sich nicht bloß um einen gemeinsamen Faktor unterscheiden.
Der Beweis dieses Resultates beruht auf dem Satze, daß sich
aus jeder jener Lösungen in 7* (Vw) eine solche in % (\/ - 3 w)
angeben läßt und umgekehrt. Hieraus ergibt sich außerdem einer-
seits, daß die Gleichung ^ + A + iF = 0 im reellen Körper 7" (V3w)
(wj>0und 1(3)) nur dann in jener Weise lösbar ist, wenn die
Klassenzahl von 7.* (V - 77;) durch 3 teilbar ist. Anderseits ist da-
mit gezeigt, daß die KuMMER'sche Verallgemeinerung, daß nämlich
^ A A A A = 0 auch in 7* (y - 3) nicht lösbar ist, nicht wesentlich
über die alte FERMAT'sche Fassung, daß sie nicht in rationalen
Zahlen lösbar ist, hinausgeht. Denn wäre z. B.
^ + yV-l3y ^ ^ .m //V -3
in ganzen rationalen von 0 verschiedenen Zahlen a?, y, ^ lösbar,

t 4 ' 1

Dann ist

!
f X - 1-1
A A(X^4-3LA
7 F A 3
\ 2 7
7 2 /
^ 4 " '
r 4 /

Also wäre, da X 4 A Y, auch eine rationale Lösung gefunden.

so setze man
^ + 7/V^3A A y Y 3

2 / 2
a^-T/VAlA X-FVAl

2

2