DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.37384#0010
10 (A. 35)
Rudolf Fueter:
ist die Unmöglichkeit der Auflösung cU + ßs + Y^O ß
prirnen Zahlen von 7: erwiesen.
Da ich die Kenntnis jenes allgemeinen Satzes, daß (3) in Ai
nicht die 27. Potenz eines Ideals werden kann, hier nicht voraus-
setzen will, werde ich die Tatsache im folgenden direkt beweisen.
a) Zunächst machen wir A' GAcois'sch, indem 3% und 3y zu
A" adjungiert wird, wo 3^ (\/h; : -\ßn) die Substitution von 7* be-
bedeute. Dadurch entsteht Ah der wieder zu 7: relativ-ÄBEi/sch
ist, dessen Relativdiskriminante nur 3 enthält, und dessen Relativ-
gruppe die ÄREi/sche Gruppe ist:
ß = ßj^ ßj^ ... (0 < a3).
ßjß;, = &ß,'.
Die GALOis'sche Gruppe von Ai ist
.<u ßu* ß^' ^3"'
.J
0 < .T < 2
0 < t <7 3.
Der Relativgrad von A" zu 7' ist wenigstens 3h Aus der
Gruppeneigenschaft folgt, daß sich z. B. ßj3 wieder in der Form
3 ß darstellen läßt:
Sj 3 = 3 SUi . . . und 3 Si = ßj^^ ßj^ ... 3.
Bildet man ß/ = ßU' ^^ ßg*" ßg^s... oder ß^' = ßU*"^ßg'^ßj"*..
je nachdem ^ + 1 oder a\-l zu 3 prim ist, so ist wegen SR 3 -
ß/ 3 = ßj 3 ßi =3 ßU* + ^ ßg^ ßg^'s. . . oder
ß/ 3 = ßr' 5 ßi = 3 ß^--^ ßj"^ ßg-^ . . . ,
d. h.
3 = 3 ß/ oder ß/ 3 - 3 ß/*h
Wir können deshalb S^ immer durch S/ in der Basisdarstellung
der ABEidschen Gruppe ersetzt denken, wo
3 ß/ = ß/ ^ ^ 3.
Da dies sukzessive für alle ß% durchgeführt werden kann, so
dürfen wir die Gruppe
ßRl ßg'^ ßg^ . . .
von vornherein so gewählt denken, daß 3 ß, - ßj * 3. Da diese
Gruppe wenigstens vom 27. Grade ist, so muß es wenigstens zwei
Substitutionen, z. B. ß^ und ßj geben, für die 3ß^ = ßj 3, 3ßj = ßj.s
oder 3 ßj = ßi"^ 3, 3 ßj = ßg"^ 3. Wir beschränken uns etwa auf den
Rudolf Fueter:
ist die Unmöglichkeit der Auflösung cU + ßs + Y^O ß
prirnen Zahlen von 7: erwiesen.
Da ich die Kenntnis jenes allgemeinen Satzes, daß (3) in Ai
nicht die 27. Potenz eines Ideals werden kann, hier nicht voraus-
setzen will, werde ich die Tatsache im folgenden direkt beweisen.
a) Zunächst machen wir A' GAcois'sch, indem 3% und 3y zu
A" adjungiert wird, wo 3^ (\/h; : -\ßn) die Substitution von 7* be-
bedeute. Dadurch entsteht Ah der wieder zu 7: relativ-ÄBEi/sch
ist, dessen Relativdiskriminante nur 3 enthält, und dessen Relativ-
gruppe die ÄREi/sche Gruppe ist:
ß = ßj^ ßj^ ... (0 < a3).
ßjß;, = &ß,'.
Die GALOis'sche Gruppe von Ai ist
.<u ßu* ß^' ^3"'
.J
0 < .T < 2
0 < t <7 3.
Der Relativgrad von A" zu 7' ist wenigstens 3h Aus der
Gruppeneigenschaft folgt, daß sich z. B. ßj3 wieder in der Form
3 ß darstellen läßt:
Sj 3 = 3 SUi . . . und 3 Si = ßj^^ ßj^ ... 3.
Bildet man ß/ = ßU' ^^ ßg*" ßg^s... oder ß^' = ßU*"^ßg'^ßj"*..
je nachdem ^ + 1 oder a\-l zu 3 prim ist, so ist wegen SR 3 -
ß/ 3 = ßj 3 ßi =3 ßU* + ^ ßg^ ßg^'s. . . oder
ß/ 3 = ßr' 5 ßi = 3 ß^--^ ßj"^ ßg-^ . . . ,
d. h.
3 = 3 ß/ oder ß/ 3 - 3 ß/*h
Wir können deshalb S^ immer durch S/ in der Basisdarstellung
der ABEidschen Gruppe ersetzt denken, wo
3 ß/ = ß/ ^ ^ 3.
Da dies sukzessive für alle ß% durchgeführt werden kann, so
dürfen wir die Gruppe
ßRl ßg'^ ßg^ . . .
von vornherein so gewählt denken, daß 3 ß, - ßj * 3. Da diese
Gruppe wenigstens vom 27. Grade ist, so muß es wenigstens zwei
Substitutionen, z. B. ß^ und ßj geben, für die 3ß^ = ßj 3, 3ßj = ßj.s
oder 3 ßj = ßi"^ 3, 3 ßj = ßg"^ 3. Wir beschränken uns etwa auf den