Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

12(A. 25)

Rudolf Fueter:

^d-^)(i + ^ + ^) ^ (j + + A + .s^ ^ j + (A* ^ _p ^2y)
+ (A^ 3, A' + A'3,3 A' + 3, A' 3,3A') + A'^ + ^ + .
Nun ist aber auch A'^^s 1(8) und A'-AgA'sO^-^); also
A' ^ A' + A ^ A + ^ A^ 3,3 A = 0 (8-') = 0 (81,
A'i + ^ + s^ == 0(8^).
Somit:
A(i-s,)(i + ^ + ^) ^ i + (A^ + 3, A' + 3,3 A') (8').
A^ + ^ + ^' ist eine Zahl A^ des zu 3, gehörigen Unterkörpers
wie er in a) betrachtet wurde; also ist, da 8i =8^,
(Al + 32 + .Ssyi-R,) , ] (8') :] (8'<): d. h.
A' + ^A' + 3^A' 0(83) ^ 0(8').
Wäre A 0(8'3), so könnte man A = AA setzen, wo A in
läge, A = 3,A, und durch 8'^ teilbar wäre; also
A' + 3g A' + 3^'A' = A (A + 3, A + 3,3 A) ^ 3 A A = 0 (8'),
gegen obige Bedingung. Also muh A' genau durch 8'^ teilbar sein.
Es sei
A'3 - X/ A^ + X,AU - Xg' = 0, wo X/ = A^ + 3, A' + 3,3 A',
die Relativgleichung von A' in bezug auf A^. Dann ist
3 A's - 8X/A' + X/ = (A' - 3, A') (A' - 3^A) . 0 (8^),
da A' - 3, A' ^ 0 (83). Jeder Summand links ist durch eine andere
Potenz von 8 teilbar, also muh jeder wenigstens durch 8^ teilbar
sein, oder
X/A' ^ 0 (8^, X/ , A' + 3, A' + 3,3 A' = 0 (8')
gegen obiges. Somit ist der Satz bewiesen.
Der Satz gilt auch für jedes A, = 0(83)^0(83). Denn
wäre
A,'-s< . i (S'),
so wäre ^ zu 8 prim, also
l (82), A,t-s. v A2<'-^.' B ) (02),
was unmöglich.
d) Für jede Substitution 3 =j= 1 ist daher
A'-a-l+A,, A,s 0(8) ^0(82).
Daraus foigt nach dem obigen Satz von c):