Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die diophantische Gleichung ^ + -fj^ + ^ = 0.

(A. 25)13

A -QA
A<'-^)- = t + ^ + <J (3'),
und für irgendeine Substitution ,S' ---1, die auch gleich 5 sein kann:
A(1-S')(1-F)3 = ^ = 1 + Ag, Ag = O(ß^) ^i= 0 (ß^).
1 -j- Ag
Da (8) = ß'^, ist daher:
A3(l-S')(l-S)3 (1 -j- Ag)' = 1 (8") ^ 1 + Ag' (ßlO) ^ t (ß^).
A 3
Ag^ ist durch 3 teilbar; ,'J ist zu 3 prim; ferner ist jede
Zahl von AT* eine Zahl von % (mod. ß) kongruent. Also:
AW3x(8'°);
As<t-ym-s)- = [ + 3^ (8'").
n ist eine zu 3 prime Zahl von A'. Alan darf immer
voraussetzen, dah A=sA ist; dann wird, wegen 3S' = S'"Vs,
sß = ß, durch Anwendung der Substitution y links und
rechts auf die Kongruenz:
g A3(i-3-)(i-3)3 = A3(i-a-i)(i-s-t)3 ^1+3^ (ß^);
oder nach Ausübung der Substitution S' :
^(S'-l)(S-l)3^ ,^-3(l-.S")(t-S)3^ j _p g g-
Vergleicht man dies mit obigem, so wird:
(1 +3x)(l -K 3sn)^ 1 (3")
^ + 3 7r = 0 (3).
Da " zu 3 prim ist, hat es also die Form + (mod. 3). Somit
A3(l-,S')(l-.S)3^ j +3\/w (ß").
Diese Kongruenz gilt für alle 8 von 1 verschiedenen Sub-
stitutionen S" der Relativgruppe 6'Ri 6^ ^ ^ 3). Da es nur
3 (mod. ß*o) inkongruente Zahlen i + 3 gibt, muh es zwei Sub-
stitutionen 1 und S"=j=/S' geben, für die
^3(l-S')(l-S)^^3(l-S")(i-S)3 ^10^ pp
A3(S"-S') (1-^ = ^ ,
^3(l-S'S"-i-) (1-S)3 = ^ (glO) ^
was nach dem vorigen unmöglich ist, da 1 ist. Also ist
die Annahme (3) = ß^ zu verwerfen, w. z. b. w\