Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die tliophanhsehe Gleichung + ^ -

(A. 25)15

K-!)

3(2r-t)

^ß + ^Y _ ^2 1)312,-0 ^ß + ^Y ^3)

ß + Y ß+Y
Rerücksichtigt inan dies in der oberen Gleichung, so wird:
^ß-j-^2^12 /_-:?2)'-l^\3

1)3(2)--])
-* ^ ß+Y
Daraus folgt aber, da ( + -1)

-- 2
/-32''-'a\
+ß + + /

(2,-l)^3^ß + + Y

ß + Y

+)-
zu t prim ist,

daß die Relativdiskriminante von Ai (X, /.) in bezug auf 7F, also
auch in bezug auf /j zu 3 prim ist+ Also muß sie gleich eins
sein, was unmöglich ist, da die Klassenzahl von % zu 3 prim ist+
Somit ist der 2. Fall auszuschließen und X liegt in +
8. Dann existiert eine Relation
i)3(2r-1) ^+^Y ^ ,3
^ ^ ß+Y ^ '
wo ^ eine zu 3 prime Zahl von A:' ist. Ebenso
(^2_ 1)3(2,-1) ^ ++1

ß + Y
wenn + die bezüglich konjugierte von ^ ist. Somit

^ß + +Y
+ +ß + +
ß + Y
' ß + Y
( _ l)2,-l j
^_l)2,-l/

woraus durch Addition wegen + + ^ + 1 - 0:


^_l)2,-l

+


+ 1=0

,p3_^3 i)2,-l-]3 ^ o
Somit wird
- ^') (^ - + ]+ ^ <!/) = [-(:-1
Durch die gleiche Schlußweise wie in 6. folgt, da ^ zu 3 prim
ist. daß t+'ji genau durch und genau
durch t teilbar sind, aber durch keine hohem Potenzen; es müssen
ß3(,-l)^+++


und

33(,-l)^'+^^'

in ^ liegen und die 3. Potenzen von Idealquotienten sein. Da die
Klassenzahl von % zu 3 prim ist, sind diese Idealquotienten Haupt-
ideale. Ferner gibt es in % nur die Einheiten + 1 resp. + ^ = (+ +,
die alle 3. Potenzen von Einheiten sind; also darf man setzen

Ü FuRTwÄNDLER, a. a. 0., pag. 5; FuETRR, a. a. 0., pag. 27, Saf.z B'.
0 UtLBERT, a. a. 0., pag. 279.