Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

16 (A. 2"))

Rudolf Fueter:

0 3(7--1) ^ _ g3 o3(7'-l) ^ ^ = .,3
(ß und Y xu 3 prime Zahlen von /,), woraus durch Addition:
+ ? + (3^T = 0.
Schreibt man für 3' *^ - a, so hat man eine neue Lösung
gefunden
^^ + ß^ + Y^ = 0,
wo a nur noch durch 3''"* teilbar ist. Wiederholt man das Ver-
fahren ?' mal, so erhält man eine Lösung, deren Zahlen a, ß, Y zu
3 prim sind. Dies ist aber unmöglich. Also ist der Satz in allen
Teilen bewiesen.

11.

Satz: Wenn in (*\/?M) (w<+0, = 2(3)) die Klassenzahl
durch drei teilbar ist. und es eine spezielle Lösung der
diophantischen Gleichung ^ + 7]3 + U = 0 gipp go gibt es
auch unendlich viele.
1. Um die Existenz von 3 Zahlen a., ß, Y in ?<', für die

9^ + ß^ + Y^ = 0
ist, nachzuweisen, braucht man bloß eine Zahl ^ von U zu be-
stimmen, für die
+ p(^-l); '^'-03; p + 1,
wo p und o in A* liegen, und durch den Strich die Konjugierte in
bezug auf die Substitution : +) bezeichnet werden soll. Denn
dann ist
+ = 1 + p(+-i),

tL <j/ = + = 1 - 3 p + 3 p^ = (1 - p)3 + p3,
also a-3, ß = p - 1, Y = " P- Wegen + + ^ + 1 =0 folgt
UL + U<!/ + 1 = 0.

Die Zahl
x - \ UL + \u
genügt der Gleichung
X^ - 3 o X + 1 = 0.

X(X, %) ist relativ-zyklisch zu ^ vom Relativgrad 3 und der Relativ-
diskriminante 1 ode]' 3^. Gibt es umgekehrt eine Gleichung
X3-3oX +1=0,