Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die diophantische Gleichung ^ + vj^ + ^ = ü.

(A. 25) 17

wo s =j= 1 eine ganze oder gebrochene Zahl in A: ist, und wo
X(X, A;) relativ-zyklisch zu % ist (d. h. die Diskriminante von X ein
Quadrat in A ist), so löse man X nach der Cardanischen Formel auf
X = 6 + ^^4 -
Dann ist sicher
^ + 1 = 0, ^4 = 3'^.
Setzt man
= 1 + p (4 f),
wodurch p in A' definiert wird, so ist
^ = 1 + P - 1)
^ ^ T 4T I = 4 T ^ T 1 T (p * P) * (4 * Q (p * p)!
d. h. wegen obiger Bedingung
- Q (p - p') = 0 oder p = p\
p liegt also in A, und es ist nach vorigem die Lösung
03 = (1 - p)3 + p3
in X gefunden. Denn wegen s 4" 1 ist auch p 4" ^ und 4" 9.
AYenn es eine ganze oder gebrochene Zahle 4" 1
in A gibt, so daß
3 ^ X + 1 0
relativ-zyklisch zu % ist, so ist die Gleichung
in 3 von 0 verschiedenen Zahlen a, ß, y von A lösbar.
3. Beispiel zu 1. Es sei A = A (\/-31). Die Klassenzahl
von A ist 3 und -31=2 (3). Nach der WEBEn'schen Tabelle,
Algebra HI. Bd., pag. 722, wird durch
3?s - ^ = Q

der Klassenkörper von A gegeben. Setzt man statt %:-X
lautet die Gleichung

also o = -
3


X3 + X + 1 = 0,
Nun ist
1 V^3 \431 , t7 1 V^3 V^ßl
2 ' 2-9 V 4 " 2 - 9

so

Also


i V-3V-31
^ ^" 2 2 - 9 '
V-3 yi"3i \ i + - 3 + .
2 - 9 2 P 4

Sitzungsberichte der Heidelb. Akademie, math.-phys. Kl. 1913. A. 25.

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