Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

18(A. Ü5)

Rudolf Fueter:

daraus

+ V-
1 3! -3 : 1
9
1 9 \ 9 ^
9 3
9 + V-31 ,
f- 3.9 -
!
w
!
2-9 '
mH-
+
il
/ 9-l'-3f \3
' ff
\ 2-9 /

1
-) .3

/9d
-r-3i\s ,
t *!
W
t
2 /
^ 2 / '

Ü.

3. Die Bedingung, daß die Klassenzahl von A durch 3 teilbar
ist, ist vielleicht hinreichend. Doch kann ich keinen Beweis dafür
angeben. Gibt es drei Zahlen a, ß, Y, für die
a3 + ß3 + 7' = 0,
so darf z. B. Y immer als rational vorausgesetzt werden; sind dann
a und ß konjugiert, so will ich dies eine spezielle Lösung nennen.
Man setze
TT +7/1 777 , .77-7/4777
3= ^ ; F=—-; Y = -w
dann wird
/ a7 + 7/ F 777 \ 3 / ^ - 7/ T 777 + JC + 3 777 7/^) g
S (- + / = "T " = ^ -

Die Aufgabe besteht also in Lösung der diophantischen Gleichung
+ + 3 777 ^ //^ ^ 4^3
in rationalen Zahlen. Das kleinste 777 ^2(3), das eine durch
drei teilbare Klassenzahl hat, ist 777 = - 31. Hier existiert eine
Lösung. Für das nächste 777 -61 kommt die Aufgabe auf Lösung
der diophantischen Gleichung
heraus, wie man leicht sieht. Dies führt zu beträchtlichen Zahlen.
Dagegen konnte ich für das nächst höhere 777 = - i06 eine Lösung
linden. Weitere Beispiele zeigt Tabelle 1.
4. Doch kann ich die Frage beantworten, wie viele spezielle
Lösungen es gibt, falls eine als bekannt vorausgesetzt wird. Hierzu
verhilft der Satz: Wenn in dem ganz beliebigen Zahl-
körper 7^(1^777) (777^0 quadratfrei) die diophantische
Gleichung
^ + iy3 + ^3 = 0