Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

22(A.25)

Rudolf Fueter:

D. h. die Klassenzahl von 7: ) ist durch 3 teilbar, wenn %
durch die kubische Form
-j- 27 ?/3
in zwei zu 3 primen Zahlen w, M darstellbar ist.
Der Satz läßt sich für einen allgemeinen algebraischen Körper
so formulieren:
Satz: Hat ein gegebener Körper 7 die folgenden Eigen-
schaften :
1. Seine Klassen zahl ist zu 3 prim.
2. Seine Diskriminante ist zu 3 prim.
3. Im Körper 7' = (7, y-3) ist 3 durch ein Primideal
1. Grades teilbar,

so hat jeder Oberkörper
^ 27p
eine durch 3 teilbare Klassen za hl, falls a und ß zu 3
prim sind.
1. oP -j- 3^ß^ niemals die 3. Potenz einer Zahl von 7. Wäre
nämlich
+ 33ß3 = ^
so setze man:

a? -

T'/a + 3 ß C p/o + 3jW
y 3+3 g ' y 3 + 3 ß '

wo Q

1 + V- 3

^ ist. Ist I irgend ein in 3 enthaltenes Primideal
des Körpers 7, so ist t - W in 7.' = (7-, V-3), da die Diskriminante
von % zu 3 prim ist. Wie früher gilt:
Entweder liegt a? in 7;
oder AT(at, Zj legt einen zu 7* relativ-zyklischen Körper
vom Relativgrad 3 fest, dessen Relativdiskriminante nur
die Primideale von 3 enthalten kann.
Im letzteren Fall ist wegen
a + 3ß ^a + 3ß^ ' ^ ^
die Relativdiskriminante zu jedem in 3 enthaltenen Primideal prim ^),
also gleich eins. Das ist unmöglich, da die Klassenzahl von 7 zu
3 prim istW) Also bleibt nur die Möglichkeit, dah % in 7: liegt.
Dann muh aber

3) Anmerkung 7, pag. 15.

HtLBERT, a. a. 0., pag. 279, Satz 94.