Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die diophantische Gleichung ip + vF + (P = 0.

(A. 25)23

R-j-3ß:
K + 3ß

3ß
a-)-3ß


sein, wo ^ eine Zahi von 7F ist. Nach Annahme 2. ist aber
^-1^0(t')^0(f2);
also, daß zu 3 prim ist:
^ ^ 1 (f3) ^ l (('V,
Ist t speziell das in 3 enthaltene Primideal I. Grades, so ist
die Norm von F in 7F gleich 3, also
^<!^1(F).
^ ist nur bis auf einer Faktor = 0. 1,2) bestimmt. Man kann
M immer so bestimmen, daß

i (U),
woraus durch Erheben in die 3. Potenz:

fsl (['*),
was im Widerspruch mit obigem steht. Also ist die Annahme,
es gebe in % eine Zahl y, so daß
9p -]- 33 ß3 -
ist, zu verwerfen.
2. ^ = \/a3-{-27ß3 ergibt einen zu /F relativ-zyklischen Ober-
körper. Seine Relativdiskriminante ist zu 3 prim, da für jedes F
von (3) in 7F:
y.3 + 27 ß^ cP (p) n)
Wegen dieser Kongruenz zerfällt aber auch jedes Primideal F
von (3) im Oberkörper in 3 voneinander verschiedene Primideale ^);
speziell zerfällt das Primideal F 1. Grades in Primideale 1. Grades.
Daraus schließt man auch auf den Oberkörper WO. 7) von 7 c
a) Seine Diskriminante ist zu 3 prim.
b) In W (^, 7;') ist 3 durch ein Primideal 1. Grades teilbar.
3. Wäre nun in W auch die Klassenzahl zu 3 prim, so wären
für W alle drei Bedingungen, die für 7; vorausgesetzt sind, erfüllt.
Dann gäbe es in W nach 1. keine Zahl ? = so daß
RS ^ 33ß3 = ^3 = ^
wie es doch tatsächlich der Fall ist. Also ist die Klassenzahl von
W durch drei teilbar.

1*) FuRTWÄNGLER, a. a. 0., pag. 5; FuETER, a. a. 0., pag. 27, B'.
^) FuRTWÄNGLER, a. a. 0., pag. 5; FuETER, a. a. 0., pag. 26, B.