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https://doi.org/10.11588/diglit.37349#0014
14 (A. 7)
K. Bopp:
(y-i)s
2
(y-i)2n
2 m — 1
3_— y
1-2
[ (4 m -
^(7-3y) + ^
(y - i)s
2 m
-l)4
+ •■■== (y — i)
(y l)2ni— 2
1)
(ll-5y)..+
5*6 ~jj ■ ■ i 2m (2m-
1) — (2 m— 1) y]j; in dieser Form sind immer zwei Glieder
zusammengenommen. Nun hat jede Zahl außer dem soeben ge-
fundenen Logarithmus noch unendlich viele imaginäre. In der
Tat, die Gleichung (1 -j- b)p —- y = o hat p-Wurzeln, darunter höch-
stens zwei reelle, also wenigstens p — 2 imaginäre. Außerdem war
L y = p b, wenn also p reell und sehr groß ist, so ist der Loga-
rithmus von y imaginär, wenn (1 -f- b) imaginär ist; es gibt also
mindestens p — 2 imaginäre Logarithmen.
Die imaginäre Größe (a -j- b V— 1) ist zurückführbar
B V— 1. Sei nun a -j- b V — 1 = m, c+d V — 1
+ d L-A
auf die Form A j-B V— 1.
= n, ferner setzen wir m — 1
= (c + dV—1) L (a + bV-
e. c. t. Setzen wir x = n L m, so wird bei
= p; es ist L (a -j- b V— 1)
1) = n L m = n p (1 — ^
p2'1“1 p2q
2q +2q+l’
4~
= n L m == L y, die Größe mn
(n L m)T
n L m , (n L m)2
y • 1 + i + i. a
T
J>
2 q
e. c. t. = 1 -f np(l-- + .. —
' ■“ - 4
2q
2q
1
+ •• 2-.+
1 —
P
1 + -7 +
p
i2 p2
2q
2q+l
- -j- e. c. t. n -f . .
Man weiß
1 • 2 . . n
e. c. t., eine Formel, in der alle Exponenten reell sind,
andererseits, daß zwei Faktoren der Form A' -(- B' V— 1 ein Pro-
dukt derselben Form geben; da nun np auf diese Form gebracht
werden kann, so kann jeder Term unserer Reihe auf sie zurück-
geführt werden, ebenso wie auch die Summe aller Terme.
Wir haben uns einen Augenblick bei den Logarithmen aufge-
halten, um zu zeigen, daß (die) elementare Analyse genügt,
um alle ihre Eigenschaften abzuleiten.
Wir bemerken noch, daß man die Differenz beliebiger Ordnung
reduzieren kann, wenn man d x = d L y konstant nimmt. In der
Tat, wenn man die Abszissen in arithmetischer Progression nimmt,
so stehen die Ordinaten in geometrischer y, y y und y y y und es
ist = y also d2y = y(yy — 2 y-f-1) = y (y2 — 2 y + 1) =y (y— l)2,
ebenso dn (y) = y (y — 1)n und dn (ym) = ym (ym—l)n, wenn man
K. Bopp:
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2
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2 m — 1
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1-2
[ (4 m -
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+ •■■== (y — i)
(y l)2ni— 2
1)
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1) — (2 m— 1) y]j; in dieser Form sind immer zwei Glieder
zusammengenommen. Nun hat jede Zahl außer dem soeben ge-
fundenen Logarithmus noch unendlich viele imaginäre. In der
Tat, die Gleichung (1 -j- b)p —- y = o hat p-Wurzeln, darunter höch-
stens zwei reelle, also wenigstens p — 2 imaginäre. Außerdem war
L y = p b, wenn also p reell und sehr groß ist, so ist der Loga-
rithmus von y imaginär, wenn (1 -f- b) imaginär ist; es gibt also
mindestens p — 2 imaginäre Logarithmen.
Die imaginäre Größe (a -j- b V— 1) ist zurückführbar
B V— 1. Sei nun a -j- b V — 1 = m, c+d V — 1
+ d L-A
auf die Form A j-B V— 1.
= n, ferner setzen wir m — 1
= (c + dV—1) L (a + bV-
e. c. t. Setzen wir x = n L m, so wird bei
= p; es ist L (a -j- b V— 1)
1) = n L m = n p (1 — ^
p2'1“1 p2q
2q +2q+l’
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(n L m)T
n L m , (n L m)2
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e. c. t. = 1 -f np(l-- + .. —
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1
+ •• 2-.+
1 —
P
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2q+l
- -j- e. c. t. n -f . .
Man weiß
1 • 2 . . n
e. c. t., eine Formel, in der alle Exponenten reell sind,
andererseits, daß zwei Faktoren der Form A' -(- B' V— 1 ein Pro-
dukt derselben Form geben; da nun np auf diese Form gebracht
werden kann, so kann jeder Term unserer Reihe auf sie zurück-
geführt werden, ebenso wie auch die Summe aller Terme.
Wir haben uns einen Augenblick bei den Logarithmen aufge-
halten, um zu zeigen, daß (die) elementare Analyse genügt,
um alle ihre Eigenschaften abzuleiten.
Wir bemerken noch, daß man die Differenz beliebiger Ordnung
reduzieren kann, wenn man d x = d L y konstant nimmt. In der
Tat, wenn man die Abszissen in arithmetischer Progression nimmt,
so stehen die Ordinaten in geometrischer y, y y und y y y und es
ist = y also d2y = y(yy — 2 y-f-1) = y (y2 — 2 y + 1) =y (y— l)2,
ebenso dn (y) = y (y — 1)n und dn (ym) = ym (ym—l)n, wenn man