Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

20 (A. 7)

K. Hopp:

jedes Paar aneinanderstoßender Seiten des Polygons zeigt, daß das
Polygon mit untereinander gleichen Seiten unter allen isoperimet-
rischen gleicher Seitenzahl das flächengrößte ist.
2. Daraus folgt, daß bei gleichem Umfang der Inhalt wächst,
wenn man die Seitenzahl vergrößert. Denn betrachtet man
wiederum das Polygon mit lauter unter sich gleichen Seiten, und

macht man im Dreieck ADF die Strecke DE -

1 m

so hat man

m

im Dreieck ADE die Seiten AD = und DE

Man kann

ö n
1 m
n 3 n ‘
also nach dem ersteren Satze den Inhalt des Dreiecks ADE bei
gleichem Umfang vergrößern, wenn man über der Grundlinie AE
2 m

ein Dreieck zeichnet, dessen beide anderen Seiten je

ö n

sind, so

daß anstelle des Dreieks ADF ein Viereck tritt, worin jede der drei
2 m
äußeren Seiten , ist. Auf jedes Paar benachbarter Seiten an-
3 n
gewendet, wächst also der Inhalt des Polygons um so mehr, je
größer n ist. Um das Maximum zu erhalten, muß man n ins Un-
begrenzte wachsen lassen.
Bei Konstanz von m und n hat dasjenige Polygon die
größte Fläche, dessen Seitenwinkel untereinander gleich
sind. Es sei im Viereck CFHK die Seite CF = 2p CK = KH -
HF = a, KF = 2 x, der Sinus des Winkels KGF = s, sein Kosinus
i
= c, dann ist die Fläche des Dreiecks KFH = x (a2—x2)2, die-
i
jenige des Dreiecks FGK = p a s == p a (1 — c2)2, also die Fläche
i i
des Vierecks CFHK = p a (1 — c2)2 -j- x (a2 — x2)2, aber 4 x2 -
2
(2 p —a c)2 -f a2 s2 = 4 p2 -j- a2 — 4 p a c also x2 = p2 -j- ^-p a c.
i _ __ __ _
Und x(a2 —x2)2 = i/4 a2 — 4 p2 — a2 -f- 4 p a c "l [\ p2 + a2 — 4p ac.
V 4 ' " 4
i
Also die Fläche des genannten Vierecks GFHK — p a (1—c2)2 -j-
i
[— 16 a2 p2 c2 -f- 8 a p (4 p2 — a2) c — 16 p4 + 8 p2 a2 -j- 3 a4]2 n
4
mit diese Funktion ein Maximum sei. muß ihre Differenz
i
= 0 sein. Nach Ausführung aller Reduktionen erhält man (1 — c2)2