Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eine Schrift v. Ensheim „Recherches sur les calculs differentiel et integral“. (A. 7) 37

der Differentiationen erhalten, z. B. Es sei dF = 2 Adx
+ 3 B d y, der konstante Koeffizient nach der zweiten Differentiation
d(2 A)

d J

= 6 .. ., dann hat man für die Summe der Koeffizienten

m + n — 2 + 3 und m n = 6, Bedingungen, welche die Gleichung
II. Grades: m2 + 5m + 6 = 0 ergeben, woraus der Exponent e von
F = m = ^ ~~ ■ = 2 oder 3; nach der ersten Differentiation muß
n 2
aber das Differential cl x mit dem Exponenten von x (in der ur-
sprünglichen Funktion) multipliziert sein, also m = 2, n = 3 und
F = x2 y3.
7. Differentiation unter dem Integralzeichen:
cly S. (m d x) n dm . T . ^ ^
—,-= S. —— d x. Ist S. mdx = F- n xa yD, so hat man
d y d y J
dy S. m d x

dy

nbxayb 1, aber der Koeffizient m von dx nach der

. dm
, ferner — -
dy
_i A c dm
1 d x = S. — d x -

dy

ersten Differentiation ist m = n a y b xa
nabyb_1xa_1 und: S. nabyb-1xa
dy (S. m d x)
dy
Zum Schlüsse müssen wir die Anwendung der Me-
thode in der algebraischen Analysis (l’analyse des quan-
tites finies) zeigen.
Es sei zunächst der binomische Satz zu beweisen:

(y

rn
ym + Ty‘

m(m — 1) m « 2 ,
y a ~r

1*2

m (m — 1) . . . (m + 1 — p) ym p ap ,
1-2 ... P + ' • ■+ a
Es sei y + a = y y, dann hat man y (y — 1) = d y = a. Es
ist evident, daß: (y -f- a)2 = y2 -f- 2 a y -(- y2, also d (y2) = y2 (y2 —-1)
= y(y + l)dy = y(2 + (y-l)}dy = 2ydy + (dy)2= 2 ay + a2.
Ebenso für die dritte Potenz d (y3) = y2 (y2 -f- y -j- 1) d y. Aber man
sieht sogleich, daß y2 = 1 -f- 2 (y — 1) -j- (y — l)2 also d (y3) = y2
{3 + 3 (y - 1) + (y- l)2} dy = 3y2dy + 3 y (dy)2 + (dy)3= 3 y2a
+ 3 y a2 a3. Wenn nun dieses Gesetz Giltigkeit hat für ein Binom
zur n — ten-Potenz, so gilt es auch für die nächste, die (n -f- 1) te.
In der Tat: d (yn + 1) = yn {jn + y11“1 -f yn~2 + . . . y + 1) d y -
yn rd y + y d (yn)> denn d(yn) = yn-1(yn-1-f y11-2 + . . . y + l)dy.