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https://doi.org/10.11588/diglit.37349#0042
4°2 (A.7)
K. Bopp:
+ x21 i + ±2 x2 X) die Summe der Kombinationen der Wurzeln zu
je zweien, der Ausdruck x3 x2 x (l + x + x i-fi x i) die Summe ihrer
Dreiergruppen; endlich x4x3x2i das Produkt der vier Wurzeln
unter sich; somit ist die Summe der Wurzeln einer Gleichung
IV. Grades = — p, die Summe ihrer Produkte zu zweien = cp die
Summe ihrer Dreiergruppen = — p und das Produkt aller vier
Wurzeln = s. — Ensheim fährt fort „C’est Descartes qui apergut
le premier les proprietes des coefficiens des equations (folgt die
Regel!); wir wissen aber heute, daß Descartes zuverlässig die In-
vention nouvelle en Algebre von Albert Girard von 1629 kannte,
wo der Satz schon ausgesprochen ist. (Vergl. Gantor, Vorlesungen
Bel. II2 pag. 795.) Und weiter bei Ensheim: „Gomme les livres
elementaires ne demontrent pas ces verites dans toute la rigeur
mathematique, il n’est pas inutile d’en faire voir l’evidence par la
methode que nous exposons ici.“ Bezeichnen wir die Summe irgend-
welcher Größen durch TB, die ihrer Kombinationen zu zweien durch
2R . . ., die ihrer n—er Gruppen durch nR und gesellen wir unter
diese Größen die Einheit (,,si ä ces grandeurs on ajoute Turnte, et
que Ton la fasse entrer dans toutes leurs combinaisons comme
partie cooperante“), so wissen wir aus der Kombinationslehre, daß
1+a + b + c+e. c. t. = TB, die Summe ihrer Produkte zu zweien -
Tl-fT», die ihrer Dreiergruppen = 2R+3Rusw. Nun betrachten wir
die Gleichung xn + A xn~1 -f B x11“2 + ... K xn~2p + ... Q x + S = 0
und nehmen an, daß der Satz über die Zusammensetzung der Koeffi-
zienten für die Gleichung vom nächst niederen Grade n — 1 gilt.
Dann gilt er auch für die Gleichung n — ten Grades. In der Tat,
nehmen wir die Differenzenbildung in der gegebenen Gleichung vor
und dividieren durch xn—1 d (x), so kommt die Gleichung:
A B C'
Xn 1 + Xn"
+ x11“31
V x/
±n-2p-l
L A
• • Kp) “
1+-+
V x
xp/
aber: —
1 — — -
II
A+B
I 9
X X-
1 2
X x2
f±n-4
e. c. t. = 0. Nach unserer Annahme ist
= 4R (x]l~1), wo Tl (x11“1) die Summe der Wurzeln
der Gleichung n1 ten-Grades ist und die analogen Bezeichnungen
gelten. Und seine weiteren Schlüsse sind: da Tl (xn) = l-f^R (±n—4)
== - A-, so folgt Ti(x11) = — A; 2R (x11“1) =1+ —+^= — Tt (x11-1)
X X XA
+ B2; also Ti (x11 -1) + 2R (x11 “B)
2R (x11)
B
und 2R (xn) = B; so-
K. Bopp:
+ x21 i + ±2 x2 X) die Summe der Kombinationen der Wurzeln zu
je zweien, der Ausdruck x3 x2 x (l + x + x i-fi x i) die Summe ihrer
Dreiergruppen; endlich x4x3x2i das Produkt der vier Wurzeln
unter sich; somit ist die Summe der Wurzeln einer Gleichung
IV. Grades = — p, die Summe ihrer Produkte zu zweien = cp die
Summe ihrer Dreiergruppen = — p und das Produkt aller vier
Wurzeln = s. — Ensheim fährt fort „C’est Descartes qui apergut
le premier les proprietes des coefficiens des equations (folgt die
Regel!); wir wissen aber heute, daß Descartes zuverlässig die In-
vention nouvelle en Algebre von Albert Girard von 1629 kannte,
wo der Satz schon ausgesprochen ist. (Vergl. Gantor, Vorlesungen
Bel. II2 pag. 795.) Und weiter bei Ensheim: „Gomme les livres
elementaires ne demontrent pas ces verites dans toute la rigeur
mathematique, il n’est pas inutile d’en faire voir l’evidence par la
methode que nous exposons ici.“ Bezeichnen wir die Summe irgend-
welcher Größen durch TB, die ihrer Kombinationen zu zweien durch
2R . . ., die ihrer n—er Gruppen durch nR und gesellen wir unter
diese Größen die Einheit (,,si ä ces grandeurs on ajoute Turnte, et
que Ton la fasse entrer dans toutes leurs combinaisons comme
partie cooperante“), so wissen wir aus der Kombinationslehre, daß
1+a + b + c+e. c. t. = TB, die Summe ihrer Produkte zu zweien -
Tl-fT», die ihrer Dreiergruppen = 2R+3Rusw. Nun betrachten wir
die Gleichung xn + A xn~1 -f B x11“2 + ... K xn~2p + ... Q x + S = 0
und nehmen an, daß der Satz über die Zusammensetzung der Koeffi-
zienten für die Gleichung vom nächst niederen Grade n — 1 gilt.
Dann gilt er auch für die Gleichung n — ten Grades. In der Tat,
nehmen wir die Differenzenbildung in der gegebenen Gleichung vor
und dividieren durch xn—1 d (x), so kommt die Gleichung:
A B C'
Xn 1 + Xn"
+ x11“31
V x/
±n-2p-l
L A
• • Kp) “
1+-+
V x
xp/
aber: —
1 — — -
II
A+B
I 9
X X-
1 2
X x2
f±n-4
e. c. t. = 0. Nach unserer Annahme ist
= 4R (x]l~1), wo Tl (x11“1) die Summe der Wurzeln
der Gleichung n1 ten-Grades ist und die analogen Bezeichnungen
gelten. Und seine weiteren Schlüsse sind: da Tl (xn) = l-f^R (±n—4)
== - A-, so folgt Ti(x11) = — A; 2R (x11“1) =1+ —+^= — Tt (x11-1)
X X XA
+ B2; also Ti (x11 -1) + 2R (x11 “B)
2R (x11)
B
und 2R (xn) = B; so-