Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Sei die lineare homogene Differentialgleichung dritter Ordnung
gegeben
(1) u" + yiu" + ysu+ygu = 0,
in welcher y^, y.j, yg beliebige algebraische Funktionen von x be-
deuten, so soll die Untersuchung der Form ihrer algebraischen
Integrale nach den vier Fällen gesondert werden, daß die Dif-
ferentialgleichung drei transzendente oder zwei transzendeute
und ein algebraisches oder ein transzendentes und zwei algebraische,
oder endlich drei algebraische Fundamentalintegrale besitzt.
Seien
1. 0, tg, tg drei transzendente Fundamentalintegrale, und
besitze die Differentialgleichung (1) ein algebraisches Integral Ui,
so werden zwei dieser transzendenten Integrale 0, tg oder 0, tg
mit u^ wiederum ein Fundamentalsystem bilden, da sonst aus den
Beziehungen
(2) aUi + agtg = Ui und b^t^ + bgtg = Ui
sich die lineare Relation
(ai—-b^ U + &20 — IRU * 0
ergeben würde, was der Voraussetzung der drei transzendenten
Fundamcntalintegrale wi derspricht.
Wir werden somit, wenn für den Fall 1. ein algebraisches
Integral existiert, auf den Fall
2. zurückgeführt, daß die Differentialgleichung zwei trans-
zendente ti, tgund ein algebraisches Fundamentalintegral Ui besitzt.
In diesem Falle werden, wenn Ui die Lösung einer mit Adjungierung
von x, Vi, yg, yg irreduktibeln Gleichung
(3) rU + Pi(x,yi,yg,yg)u^+ - - - + p^(x,yi,y2,Vg) = 0
ist, in welcher Pi, . . . Pm rationale Funktionen der eingeschlossenen
Größen darstellen, bekanntlich sämtliche Lösungen Integrale der
Differentialgleichung (1) sein. Schließen wir den Fall aus, daß die
Gleichung (3) eine binomische, daß also